Рассмотрим типы фазовых траекторий для линейного уравнения второго порядка.

(13)

Уравнению (13) соответствует система двух уравнений:

(14)

 

Система (14), очевидно, имеет единственную особую точку (точку покоя) – (0,0). Устойчивость этой особой точки целиком определяется корнями характеристического уравнения. От корней характеристического уравнения системы (14) зависит форма фазовых траекторий. Особой точке в зависимости от корней характеристического уравнения присваивается имя собственное:

1. два действительных отрицательных корня – устойчивый узел.

2. два действительных положительных корня – неустойчивый узел.

3. два комплексных корня в левой полуплоскости – устойчивый фокус.

4. два комплексных корня в правой полуплоскости – неустойчивый фокус.

5. два мнимых корня – центр.

6. два действительных корня. Один - положительный, другой – отрицательный – седло.

На фазовой плоскости время может откладываться только параметрическими траекториями.

От системы (14) можно перейти к уравнению фазовых траекторий. Для этого разделим первое уравнение на второе. Получаем:

(15)

Отметим, что из соотношения (15) следует одно важное геометрическое свойство фазовых траекторий: они могут пересекать ось абсцисс только под прямым углом (то есть касательная к траектории должна быть перпендикулярна оси абсцисс). Это следует из того, что при значении у = 0 соотношение (15) обращается в бесконечность. Приведенное геометрическое свойство будет справедливо и для нелинейного уравнения.

Интегрируя уравнение (15) можно найти выражение для фазовой траектории. Однако, нам удобнее рассмотреть траектории в параметрической форме.

Устойчивый узел.

Решение уравнения имеет вид:

(16)

Прежде чем рисовать траектории на фазовой плоскости, отметим одно обстоятельство.

Произвольная функция, состоящая из суммы двух экспонент

(17)

не может обратиться в нуль более одного раза (может не обратиться ни разу!).

Действительно

(18)

Экспонента вообще не может обратиться в нуль, а функция внутри скобок может обратиться в нуль только для одного значения t.

 

Возвратимся к построению фазовых траекторий для устойчивого узла.

Рассмотрим траектории на фазовой плоскости. Ели одна из постоянных интегрирования обращается в нуль, то соответствующие фазовые траектории расположены на прямых:

(19)

(см. рис. 5а)

Следовательно, фазовые траектории , расположены на полупрямых L1 и L*1 и на L2 и L*2.

В общем случае при любых начальных условиях функции х(t) и у(t) стремятся к нулю при t→∞. Изображающая точка может неограниченно приближаться к началу координат только во второй и четвертой четвертях фазовой плоскости.

Для качественного построения фазового портрета мы используем указанные выше факты, условие, что на пути к началу координат фазовая траектория может только один раз пересечь ось ординат (у =0) и ось абсцисс (х = 0), условие, что фазовые траектории не могут пересекаться.

Обратимся к рисунку 5а. Если изображающая точка находится в области Н1 или Н*1 , то она будет двигаться к началу координат только внутри своей области. Та же самая ситуация будет иметь место, если изображающая точка будет находиться в области Н4 и Н*4. Если изображающая точка находится в области Н2 или Н*2, то возможны два варианта в зависимости от начальных условий (ограничимся рассмотрением области Н2):

1) изображающая точка пересекает ось ординат, переходит в область Н3, затем пересекает ось абсцисс и переходит в область Н4, где движется к началу координат;

2) изображающая точка движется к началу координат в исходной области Н2;

В том случае, когда изображающая точка находится в области Н3, то она заведомо пересекает ось абсцисс и движется к началу координат в области Н4.

Аналогичная ситуация имеет место для областей Н*3 и Н*4.

Фазовый портрет для особой точки устойчивый узел показан на рисунке 5b.

 

Рис. 5а

 

Неустойчивый узел.

Решение имеет вид:

(20)

В этом случае функции х(t) и y(t) уходят в бесконечность при любых начальных условиях. Рассуждая аналогично предыдущему, получаем фазовый портрет, показанный на рисунке 6.

 

Рис. 5b Рис. 6

 






Дата добавления: 2017-01-16; просмотров: 1068; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2019 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.009 сек.