Процедура принятия решения в условиях риска. Матрица решений.

В условиях риска и неопределенности типичная задача принятия решения достаточно сложна для того, чтобы допускать множество возможных результатов или отдач для каждой стратегии. Матрица решения, называемая также платежной матрицей, используется как инструмент для представления и анализа этих результатов. Матрица решения помогает лицу, принимающему решение, концептуализировать и формализовать процесс решения на:

1) постановку целей;

2) выбор возможной отдачи;

3) оценку и выбор альтернативных стратегий.

Пример платежной матрицы представлен в таблице 1, в которой пять альтернативных стратегий, или направлений действия, лица, принимающего решение, перечислены в левой части (S₁ - S₅).

Таблица 1 - Матрица решения

Лицо, принимающее решение, предвидит четыре возможных состояния экономики (условия или явления), которые обозначены от N₁ до N₄. Числа в матричных ячейках представляют собой конечную отдачу или результаты для каждой стратегии и связанного с ней состояния экономики. В данном примере стратегиями могли бы служить различные рекламные кампании, а состояниями экономики могли бы быть бум, стабильность, спад или депрессия. Отдача представляет собой наиболее эффективную оценку лицом, принимающим решение, результатов для каждой комбинации стратегии и состояния экономики: количество единиц проданной продукции, объем продаж (в стоимостном выражении), прибыль или любые другие числа, которые имеют смысл для лица, принимающего решение.

В состоянии определенности может иметь место лишь одно состояние экономики, а платежная матрица может быть сведена к одному-единственному столбцу. Лицо, принимающее решение, знает, что отдача появится лишь в том случае, если будет осуществляться конкретная стратегия и ему требуется только выбрать стратегию с наибольшей отдачей.

В условиях риска вероятность каждого состояния экономики и вытекающей из него отдачи может быть определена объективно при помощи эмпирических доказательств, полученных из документации компании или экономических экспериментов.

В условиях неопределенности вероятностных состояний связанные с ними отдачи должны определяться субъективно, в соответствии с информацией и убеждениями лица, принимающего решение. Это, конечно, требует, чтобы лица, принимающие решения, обладали некоторыми знаниями по поводу возможных состояний экономики и вытекающих из них отдач. Если лица, принимающие решения, считают, что их знаний недостаточно для определения субъективных вероятностей, то они всегда могут вернуться к Байесовому постулату, гласящему, что вероятности равны.

Если менеджер, принимающий решение, сталкивается с событиями или результатами, подразумевающими наличие риска, то его главная задача заключается в разработке методов, способных обеспечить его возможностью вычислить, а в последующем свести к минимуму риски, присущие конкретной задаче.

В условиях риска главным критерием решения служит предполагаемая стоимость, которая вычисляется следующим образом:

Е(Х) = Р₁Х₁+ Р₂Х₂ +... + Р_nX_n = , (1)

где Х_i — стоимость i-й отдачи;

Р_i — вероятность i-й отдачи (которая равна вероятности i-го варианта).

Из уравнения (1) следует, что предполагаемая стоимость стратегии представляет собой средневзвешенную стоимость, в которой используются вероятности отдачи в качестве весовых коэффициентов. Таким образом, можно сказать, что если бы стратегия применялась много раз при аналогичных вариантах, то мы могли бы рассчитывать на получение средней отдачи, равной предполагаемой стоимости.

Предположим, что оценивается множество стратегий при одинаковой стоимости инвестиций. Предполагаемая стоимость служит основным критерием для сравнения этих альтернатив. При сравнении двух или более стратегий менеджер, принимающий решение, выбирает стратегию с самой высокой предполагаемой стоимостью. Рассмотрим матрицу решения, представленную в таблице 1, в которой анализируются четыре возможных состояния экономики. Пусть N₁ — времена бума; N₂ — времена стабильности; N₃ ¾ времена спада, a N₄ ¾ времена депрессии. Предположим, что лицо, принимающее решение, после тщательного анализа способно определить объективную вероятность в 20% для N₁, в 65% для N₂, в 10% для N₃ и в 5% для N₄ (таблица 2).

Предполагаемая стоимость каждой стратегии вычисляется следующим образом:

E(S₁) = 0,20(6) + 0,65(6) + 0,10(6) + 0,05(4) = 5,90;

E(S₂) = 0,20(25) + 0,65(7) + 0,10(7) + 0,05(-15) = 9,50;

E(S₃) = 0,20(20) + 0,65(20) + 0,10(7) + 0,05(-1) = 17,65;

E(S₄) = 0,20(19) + 0,65(16) + 0,10(9) + 0,05(-2) = 15,00;

E(S₅) = 0,20(20) + 0,65(15) + 0,10(15) + 0,05(-3) = 15,10.

Таблица 2 - Вычисление предполагаемой стоимости

Для того чтобы принять решение, выбирается стратегия с самой высокой предполагаемой стоимостью. В данном примере явное предпочтение отдается стратегии S₃.

Какая стратегия будет предпочтительнее, если предполагаемые стоимости альтернативных стратегий одинаковы, как это следует из таблицы 3? В таблице 3 представлена матрица решения со следующими вероятностями: 0,25 для N₁, 0,50 для N₂ и 0,25 для N₃. Включена также величина отдач для трех различных стратегий, или проектов.

Таблица 3- Вычисление предполагаемой стоимости

Понятно, что S₁ или S₂ предпочтительнее S₃. Но для того чтобы сделать выбор между S₁ и S₂, имеющими одинаковую предполагаемую стоимость, мы должны использовать какой-то другой критерий. Таким критерием является степень риска. Поскольку предполагаемая стоимость служит измерением основной тенденции, степень риска может быть определена как степень отклонения возможных отдач от предполагаемой стоимости. Степень риска, таким образом, считается вторичным, или вспомогательным, измерением предполагаемой стоимости.

Измерение риска: размах и среднее квадратичное отклонение

Из таблицы 3 следует, что хотя S₁ и S₂ имеют одинаковую предполагаемую стоимость, равную 15, S₁ фактически может иметь отдачу или в 20, или в 10, в то время как S₂ могла бы иметь отдачу или в 40, или в 10, или в 0. Интуитивно мы чувствуем, что чем дальше от среднего значения находится фактическая отдача, тем рискованнее будет проект. Следовательно, еще одним из способов измерения риска можно считать вычисление размаха, который представляет собой разность между самыми крайними величинами отдачи. В нашем примере размах S₁ равен 10 (от низкого, равного 10, до высокого, равного 20), в то время как размах S₂ равен 40 (от низкого, равного 0, до высокого, равного 40).

Размах — это полезная предварительная оценка, но она учитывает лишь крайние стоимости и не учитывает стоимости, расположенные между ними. Более точным измерением риска будет среднее квадратичное отклонение (греческая буква «сигма»), которое является измерением отклонения отдачи от предполагаемой стоимости. Среднее квадратичное отклонение показывает жесткость распределения вероятности. Чем выше среднее квадратичное отклонение, тем выше вероятность возможной отдачи и, следовательно, тем выше риск. Вычисление среднего квадратичного отклонения может производиться следующим образом.

Шаг 1. Вычислим предполагаемую стоимость (взвешенное среднее арифметическое) распределения

E(X) = , (2)

где X_i — i-я отдача, или результат; Р_i — вероятность i-й отдачи;

Е(Х) — предполагаемая стоимость или взвешенный средний результат с вероятностями в качестве весов.

Шаг 2. Вычтем предполагаемую стоимость из каждого результата с целью получения ряда отклонений от предполагаемой стоимости, т.е.

d_i =X_i - Е(Х_i). (3)

Шаг 3. Возведем в квадрат каждое отклонение, затем умножим возведенное в квадрат отклонение на вероятность связанного с ним результата. Затем сложим результаты с целью получения среднего возведенного в квадрат отклонения, или дисперсии, s², распределения вероятности:

s² = P_i. (4)

Шаг 4. Взяв корень квадратный из дисперсии, получим среднее квадратичное отклонение, s:

s = (5)

Уравнение (5) можно также записать в следующем виде:

s = , (6)

поскольку среднее арифметическое распределение, m_x представляет собой предполагаемую стоимость. Обозначения в уравнении (6) более понятные, чем в уравнении (5).

Измерение относительного риска: коэффициент вариации

Предположим, что фирма имеет возможность осуществлять инвестиции в два разных проекта. Один имеет предполагаемую стоимость в 500 000 долл. со средним квадратичным отклонением в 5000 долл. Другой имеет предполагаемую стоимость в 100 000 долл. со средним квадратичным отклонением в 2000 долл. Какой из них более рисковый?

Если мы воспользуемся средним квадратичным отклонением для измерения риска, то мы должны будем сделать вывод, что более крупный проект является более рисковым. Но если учитывать среднее квадратичное отклонение в отношении размера проекта, то относительный риск будет ниже для более крупного проекта. Поэтому, для того чтобы сравнивать рисковость проектов с сильно отличающимися величинами инвестиций, отдач и предполагаемой стоимости, необходимо пользоваться скорее относительными, чем абсолютными измерениями. Относительное среднее квадратичное отклонение (чаще называемое коэффициентом вариации) и является таким измерением.

Коэффициент вариации - это отношение среднего квадратичного отклонения к предполагаемой стоимости, или среднему. Вычисленный в процентах, он является индексом риска в расчете на рубль прибыли и, таким образом, обеспечивает возможность

сравнения относительного риска стратегий или проектов с сильно различающейся величиной. Формула имеет вид:

С = (100), (7)

где s ¾ среднее квадратичное отклонение;

m ¾ предполагаемая стоимость (средняя величина).

Базируясь на данных, представленных в таблице 3, по формуле 7 рассчитаем коэффициенты вариации для каждой стратегии:

для S₁: С₁ = ( )(100) = 33; для S₂: С₂ = ( )(100) = 100;

для S₃: С₃ = ( )(100) = 0.

В данном случае использование коэффициента вариации приводит к тем же самым выводам, которые были достигнуты, когда среднее квадратичное отклонение было использовано для измерения риска. Но этого может не произойти, если предполагаемые стоимости будут другими. Предположим, что мы выполняем два проекта и что имеют место три возможных состояния экономики: N₁, N₂ и N₃ с вероятностями в 0,20, 0,70 и 0,10 соответственно. В таблице 4 рассматриваются два проекта ¾ S₄ и S₅, их предполагаемая отдача, предполагаемая стоимость - E(S), среднее квадратичное отклонение - s_Si, и коэффициент вариации - С_Si, для каждого проекта.

Мы видим, что S₅ наверняка представляет собой намного более крупный проект, чем S₄, с более высокой предполагаемой стоимостью, для которой имеет место более высокое среднее квадратичное отклонение.

Таблица 4 - Анализ риска для двух проектов

Более высокое среднее квадратичное отклонение означает более высокий абсолютный риск. Но относительный риск (т.е. риск в расчете на рубль предполагаемой стоимости, измеряемый коэффициентом вариации), вполовину выше для S₄, чем для S₅. Поскольку предполагаемая стоимость S₅ также выше, чем предполагаемая стоимость S₄, мы можем сделать вывод, что S₅ является более желательным проектом.