Координатне подання векторного добутку в детермінантній формі.

Для отримання формули обчислення координат векторного добутку через координати векторів-множників використаємо поняття визначника (або детермінанта) другого порядку (див.§2). Згадаємо: визначник другого порядку – це визначник квадратної матриці , позначається або , –це число, яке обчислюється за формулою:

= .

Теорема (про координатне подання векторного добутку в детермінантній формі). Якщо вектори і задані своїми координатами:

,

то векторний добуток векторів і визначається формулою:

.

Доведення очевидне.

Зауваження. Для зручності обчислення векторного добутку корисно координати заданих векторів записати спочатку у вигляді наступної таблиці:

.

Закриваючи тут спочатку перший стовпчик, потім другий і третій, ми отримаємо послідовно три визначника другого порядку; обчислюючи їх і взявши другий зі знаком мінус, ми таким чином знайдемо три координати векторного добутку .

Формулі обчислення координат векторного добутку за координатами векторів-множників можна надати ще більш компактного вигляду:

.

Дійсно, якщо розгорнути цей визначник (див. §9) за елементами першого рядка, то отримаємо попередню формулу.

Приклад.

Дано 2 вектори і . Знайти координати векторного добутку .

Розв’язання. Складаємо таблицю:

.

Закриваючи послідовно стовпчики цієї таблиці, ми отримаємо три визначники другого порядку, обчислюючи їх і, взявши другий зі знаком мінус, знайдемо шукані проекції: