Производная алгебраической суммы функций.

Теорема 1.

Производная алгебраической суммы двух дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

(u(x)+v(x))' = u'(x)+v'(x).

(u(x)-v(x)'=u'(x)-v'(x).

Замечание. Можно доказать справедливость теоремы 1 для суммы любого конечного числа дифференцируемых функций, т.е.

Задача: Найти производную функции f(x)=x²+x-7.

Вычислить f (-1), f (0), f (3)

Решение

Производная произведения функций

Теорема 2.

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений каждой функции на производную другой.

.

Эта формула называется формулой Лейбница.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной. .

Следствие 2. Производная функции f(x)=xⁿ, где равна произведению показателя n на степень .

Задача. Найти производную функции f(x)=x³(x-1)

Решение:

Производная частного двух функций

Теорема 3. Производную частного двух дифференцируемых функций можно найти по формуле:

, где

Задача: Найти производную функции

Решение:

Упражнения

Найти производные функции:

1.

2.

3.

4.

5.