Свойства сходящихся последовательностей.

 

1. Единственность.

Теорема: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

 

2. Арифметические действия.

Теорема: Если последовательности {xn} и {yn} сходящиеся, причем и , тогда ; ; при условии .

 

3. Необходимое условие сходимости.

Теорема Больцано-Вейерштрасса:

Сходящаяся последовательность ограничена.

Док-во:

Пусть последовательность {хn} сходится Þ существует конечный предел Þ по определению: для "e > 0 $ номер N, начиная с которого .

Из неравенства: .

Выберем С=max { }.

Значит, для членов последовательности {xn} выполняется неравенство . Тогда по определению последовательность {xn} ограничена.

Ч.т.д.

 

4. Достаточные условия существования предела.

Определение: Последовательность {xn} называется возрастающей (неубывающей), если x1<x2<… (x1£x2£…).

Пример: 1<2<3<4<…, {xn} – возрастает.

1£1<2£2<3£3…, {xn} - неубывающая.

Определение: Последовательность {xn} называется убывающей (невозрастающей), если x1>x2>… (x1³x2³…).

Пример: 1>1/2>1/4>…, {xn} – убывающая.

1³1/2³1/2>1/3³1/3>…, {xn} - невозрастает.

Теорема1: Если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то она имеет конечный предел.

Теорема2: Если последовательность монотонно убывает и ограничена снизу, то она имеет конечный предел.

Док-во:

Докажем теорему 1.

{xn} возрастет Þ x1<x2<….

{xn} ограничена сверху Þ существует число М такое, что при "n xn М. Отступим от М на e, тогда существует номер N, начиная с которого

М-e< xn М.

xn

М

 

М-e

 

0 1 2 3 4 n

Усилим правую часть неравенства:

М-e< xn<М+e, т.е. .

Значит, для "e > 0 $ номер N, начиная с которого справедливо

. Þ . Þ по определению: {xn} сходится.

Теорема 2 доказывается аналогично.

Ч.т.д.

Предел функции.

 

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть самой точки.

1) Определение предела функции на языке :

Число А называется пределом функции f(x) при x®a, если для любого сколь угодно малого положительного числа e найдется число d(e)>0 такое, что для всех x, отличных от a и удовлетворяющих неравенству |x-a|<d, следует неравенство |f(x)-A|<e.

Þ "e>0 $d>0: из |x-a|<d Þ |f(x)-А|<e.

 

y

A

 

х
 
 

 


Интервал (a-d, a+d) на оси ОХ называется дельта-окрестностью точки a.

Интервал (A-e, A+e) на оси ОY называется эпсилон-окрестностью точки A.

Функция y=f(x) переводит каждую точку из d-окрестности точки a на оси ОХ внутрь ε-окресности точки А на оси ОY.

2) Определение предела на языке окрестности:

Число A называется пределом функции при x®a, если для любой сколь угодно малой e-окрестности точки A на оси ОY найдется d-окрестность точки a на оси ОХ, которую функция переводит в e-окрестность.

3) Определение предела на языке последовательности:

Число A называется пределом функции f(x) при x®a, если для любой последовательности {xn}, сходящейся к точке a, соответствующая последовательность значений функции {f(xn)} сходится к A.

4) Правый и левый пределы.

Определение: Если есть xn®a и xn<a, то число A называется левым пределом функции при x®a-0.

.

Определение: Если xn®a и xn>a, то число A называют правым пределом функции при x®a+0.

.

Такие пределы называются односторонние.

Замечание 1: Для существования предела функции не требуется, чтобы функция была определена в самой точке x=a, достаточно того, что она определена в ее окрестности.

Замечание 2: На последовательность {xn} можно смотреть как на функцию натурального аргумента xn=f(n), nÎN. Поэтому все свойства пределов и теоремы для пределов функции справедливы и для предела последовательности.






Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 2059; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.018 сек.