Последовательность. Предел последовательности.

Числовой последовательностью называют бесконечное упорядоченное множество чисел (перенумерованное множество чисел).

Задают числовую последовательность с помощью общего члена x_n.

{x_n} - числовая последовательность с общим членом x_n.

Например: {x_n}={2;3;4;5;…}, x_n=n+1;

{a_n}={1;1/2;1/3;…}, a_n=1/n ;

{b_n}={-1;1;-1;1,…}, b_n=(-1)ⁿ.

1) Определение (на языке ε): Число a называют пределом числовой последовательности {x_n}, при n стремящемся к бесконечности (n®¥), если для любого, сколь угодно малого, положительного числа e, найдется номер последовательности N, зависящий от , начиная с которого выполняется неравенство |x_n–a|<e.

Û" e>0 $ N( ): " n>N, выполняется |x_n–a|<e.

(a-e; a+e) ‒ e-окрестность точки a.

2) Определение (на языке окрестности): Число a называется пределом последовательности {x_n} при n®¥, если для любого сколь угодно малого положительного числа e, найдется такой номер последовательности N, начиная с которого члены последовательности будут находится в e- окрестности точки a.

Пример: Покажем по определению, что пределом числовой последовательности {x_n} с общим членом x_n= , является число a=0, то есть .

Возьмем сколь угодно малое положительное e. Попробуем найти такой номер последовательности N, начиная с которого выполняется неравенство

| – 0|<e. " e>0 $ N: "n>N выполняется | - 0|<e. Снимаем модуль –0<e. Если перевернуть обе части неравенства, то перевернем знак: n> . В качестве N берется целая часть : N=[ ].

3) , если "A>0 $N: "n>N выполняется x_n>A.

, если "A<0 $N: "n>N выполняется x_n<A.

, если "A>0 $N: "n>N выполняется |x_n| > A.