Последовательность. Предел последовательности.


 

Числовой последовательностью называют бесконечное упорядоченное множество чисел (перенумерованное множество чисел).

Задают числовую последовательность с помощью общего члена xn.

{xn} - числовая последовательность с общим членом xn.

Например: {xn}={2;3;4;5;…}, xn=n+1;

{an}={1;1/2;1/3;…}, an=1/n ;

{bn}={-1;1;-1;1,…}, bn=(-1)n.

1) Определение (на языке ε): Число a называют пределом числовой последовательности {xn}, при n стремящемся к бесконечности (n®¥), если для любого, сколь угодно малого, положительного числа e, найдется номер последовательности N, зависящий от , начиная с которого выполняется неравенство |xn–a|<e.

Û" e>0 $ N( ): " n>N, выполняется |xn–a|<e.

(a-e; a+e) ‒ e-окрестность точки a.

2) Определение (на языке окрестности): Число a называется пределом последовательности {xn} при n®¥, если для любого сколь угодно малого положительного числа e, найдется такой номер последовательности N, начиная с которого члены последовательности будут находится в e- окрестности точки a.

Пример: Покажем по определению, что пределом числовой последовательности {xn} с общим членом xn= , является число a=0, то есть .

Возьмем сколь угодно малое положительное e. Попробуем найти такой номер последовательности N, начиная с которого выполняется неравенство

| – 0|<e. " e>0 $ N: "n>N выполняется | - 0|<e. Снимаем модуль –0<e. Если перевернуть обе части неравенства, то перевернем знак: n> . В качестве N берется целая часть : N=[ ].

3) , если "A>0 $N: "n>N выполняется xn>A.

, если "A<0 $N: "n>N выполняется xn<A.

, если "A>0 $N: "n>N выполняется |xn| > A.

 



Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 3688;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.007 сек.