Лекция 25. Логарифмическая функция, ее свойства.

Логарифм по основанию a это функция , обратная к показательной функции по основанию a: x(y) = a ^y.

В дальнейшем будем считать, что основание логарифма a положительное, не равное единице число: .

График логарифма

График логарифма получается из графика показательной функции зеркальным отражением относительно прямой y = x. На графике представлены значения логарифма
y(x) = log_a x для четырех значений основания логарифма: a = 2, a = 8, a = 1/2 и a = 1/8. На графике видно, что при a > 1 логарифм монотонно возрастает. С увеличением x рост существенно замедляется. При 0 < a < 1 логарифм монотонно убывает.

Свойства логарифма

Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание

Логарифм является монотонной функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства логарифма представлены в таблице.

Область определения	0 < x + ∞	0 < x + ∞
Область значений	– ∞ < y < + ∞	– ∞ < y < + ∞
Монотонность	монотонно возрастающая	монотонно убывающая
Нули, y = 0	x = 1	x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	нет	нет
	+ ∞	– ∞
	– ∞	+ ∞

Частные значения

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается так:

Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом:

Натуральный логарифм это логарифм по основанию числа е: .

Десятичный логарифм это логарифм по основанию числа 10: .

Основные формулы логарифмов

Свойства логарифма, вытекающие из определения обратной функции:

Основное свойство логарифмов и его следствия