Лекция 24. Показательные функции, их свойства.

Показательная функция это функция y(x) = a^x, зависящая от показателя степени x, при некотором фиксированном значении основании степени a.

Область определения показательной функции, множество значений

Рассмотрим показательную функцию y(x) = a^x

В дальнейшем будем считать, что основание степени a является положительным числом: a > 0. Тогда функция y = a^x определена для всех x. Ее область определения: - ∞ < x + ∞. При a ≠ 1 она имеет множество значений: 0 < y < + ∞ При a = 1 показательная функция является постоянной y = 1

График показательной функции

На графике представлены значения показательной функции
y(x) = a^x
для четырех значений основания степени: a = 2, a = 8,a = 1/2 и a = 1/8. На графике видно, что при a > 1показательная функция монотонно возрастает. Чем больше основание степени a, тем более сильный рост. При 0 < a < 1 показательная функция монотонно убывает. Чем меньше показатель степени a, тем более сильное убывание.

Свойства показательной функции

Основные формулы

Когда показатель степени x есть натуральное число x = n, выражение aⁿ есть произведение n множителей:

Для произвольного значения x показательная функция определяется так, что обладает всеми свойствами натурального показателя степени.

Частные значения

Пусть y(x) = a^x. Тогда

Экстремумы, возрастание, убывание

Показательная функция является монотонной, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.