Дробно-рациональные уравнения

Стандартный вид дробно-рационального уравнения

, (8)

где – многочлены.

Область допустимых значений данного уравнения: . Решение уравнений (8) сводится к решению системы

Дробно-рациональные уравнению вида:

,

где – многочлены можно решать, используя основное свойство пропорции:

К основному методу решения дробно-рациональных уравнений относятся также метод замены переменной.

Некоторые специальные приемы будут рассмотрены далее на примерах.

Пример 1.Решить уравнение .

Решение.

Сводим заданное уравнение к стандартному виду вида (8):

, т.е.

Его решением будет решение системы

т.е.

Значит, решением заданного уравнения является .

Пример 2.Решить уравнение .

Решение.

Применим основное свойство пропорции с учетом ОДЗ уравнения:

Получаем

Откуда

Оба корня являются решениями, т.к. подходят по ОДЗ. В ответе имеем

Пример 3.Решить уравнение .

Решение.

Группируем слагаемые

.

Заменяем

, откуда

,

т.е. и

.

Получаем уравнение

,

или, то же самое,

.

Полученное уравнение имеет корни

Возвращаемся к переменной :

В результате приходим к совокупности 2-х квадратных уравнений

которые решаем на ОДЗ: . Приходим к ответу

Пример 4.Решить уравнение .

Решение.

Выделим в левой части уравнения полный квадрат суммы:

.

Получаем уравнение, которое приобретает вид

.

Заменяем и приходим к уравнению

.

Решая его, найдем корни:

Возвращаемся к старой переменной:

Решаем полученные уравнения по свойству пропорции (с учетом ОДЗ) :

Приходим к ответу .

Пример 5.Решить уравнение .

Решение.

Введем замену:

. Тогда и получим уравнение

.

Решаем его:

, т.е. .

Решая квадратное уравнение, находим корни:

Вернемся к переменной х:

Решаем первое уравнение:

;

.

Второе уравнение не имеет решения, т.к. .

Получили ответ: .