Индуктивности массивных контуров

Определение взаимной индуктивности между двумя массивными контурами.Мы помним, что взаимная индуктивность вводится как коэффициент пропорциональности между потокосцеплением взаимоиндукции одного контура и током в другом контуре: .

Рассмотрим два массивных контура, разбив токи в них на элементарные трубки тока (рис. 9-2).

J₁ dl₁

r J₂ dl₂

1l₂2

i₂

i₁

Рисунок 9–2

Определим потокосцепление второго контура, созданное током в первом контуре. Вначале определим магнитный поток сквозь сечение, ограниченное контуром l₂:

.

Элементарное потокосцепление с трубкой тока во втором контуре определяется отношением тока в этой трубке к полному току второго контура:

.

Полное потокосцепление взаимоиндукции второго контура получим, проинтегрировав полученное выражение по всем трубкам тока во втором контуре, т.е. всему объему второго контура:

.

Величина векторного магнитного потенциала в точках второго контура определяется с помощью полученного ранее решения уравнения Пуассона для векторного магнитного потенциала через плотность тока в первом контуре:

.

Тогда потокосцепление взаимоиндукции второго контура можем представить в виде:

.

Взаимная индуктивность между вторым и первым контуром можно вычислить из соотношения:

.

При определении взаимной индуктивности между первым и вторым контуром необходимо определить потокосцепление первого контура, задав ток во втором контуре. Проделав аналогичные вычисления, получим:

; .

Таким образом, взаимная индуктивность между двумя контурами получается одинаковой, независимо от порядка ее вычисления, т.е. соблюдается принцип взаимности. Взаимная индуктивность не зависит от токов в контурах, так как плотности токов, стоящие в числителе, изменяются пропорционально токам контуров, стоящим в знаменателе. Взаимная индуктивность зависит от формы, размеров и взаимного расположения двух контуров и от распределения токов по сечению контуров.

Определение собственной индуктивности массивного контура.При определении собственной индуктивности применим полученную формулу для расчета взаимной индуктивности двух одинаковых, совмещенных друг с другом контуров. В этом случае токи в контурах совпадают (i₁ = i₂ = i), объемы контуров одинаковы (V₁ = V₂ = V), а взаимная индуктивность переходит в собственную индуктивность (M₁₂ Ù L):

.