Векторный потенциал магнитного поля.

В связи с тем, что введенный ранее скалярный магнитный потенциал U_m позволяет описывать магнитные поля только в областях, не занятых электрическими токами, желательно ввести в рассмотрение какую либо другую вспомогательную величину, с помощью которой можно было бы анализировать магнитные поля постоянных токов, как вне проводников с токами, так и внутри этих проводников. Это позволит анализировать поле в областях, где оно имеет либо потенциальный, либо вихревой характер.

Кроме того, желательно, чтобы эта новая вспомогательная величина была пригодна и для исследования переменных электромагнитных полей, т. е. для случая, когда плотность тока изменяется во времени (J(t) ≠ const).

Рассматривая уравнения магнитного поля:

; ; ;

мы видим, что второе уравнение будет выполняться всегда, если представить вектор магнитной индукции, как ротор некоторого вспомогательного вектора:

; [ ]; ; [ ].

Новый вектор называют векторным потенциалом магнитного поля. Он является функцией координат, так как зависит от распределения индукции в пространстве, которая в свою очередь зависит от распределения электрических токов.

Наложим на векторный потенциал такие условия, чтобы при подстановке его в уравнения магнитного поля эти уравнения выполнялись бы во всех точках поля – как при , так и при . В этом случае векторным магнитным потенциалом можно будет пользоваться для анализа магнитных полей в любых средах.

Принцип непрерывности магнитного потока выполняется всегда, так как именно на этом основании мы ввели векторный потенциал.

Подставляя векторный потенциал в закон полного тока , и принимая, что магнитная проницаемость среды не зависит от координат ( m(x,y,z) = const), умножив обе части уравнения на m, получим: , что приводит к уравнению:

.

Рассмотрим последнее уравнение, используя векторный оператор Гамильтона (в декартовой системе координат). Преобразуем левую часть уравнения, применяя формулу для двойного векторного произведения:

(*)

В полученном векторном уравнении скрыто три уравнения для проекций векторов на координатные оси. Вводя векторный потенциал, мы задали только одно уравнение для описания ротора этого вектора: . Для полного описания вектора необходимо задать также его дивергенцию. При рассмотрении магнитного поля постоянных токов примем, что дивергенция векторного магнитного потенциала равна нулю: . В интегральной форме это уравнение записывается в виде:

.

Это означает, что во всех точках магнитного поля постоянного токавыполняется принцип непрерывности линий векторного магнитного потенциала, т. е. эти линии не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми на себя кривыми. При рассмотрении граничных условий в различных средах на основании такого типа интегралов мы утверждали, что на границе раздела сред остаются неизменными нормальные по отношению к границе составляющие соответствующего вектора. В данном случае для векторного магнитного потенциала, можем записать:

A_1n = A_2n .

Принятое ограничение для дивергенции векторного магнитного потенциала не сужает возможностей применения уравнений магнитного поля, так как вектор магнитной индукции B определяется лишь ротором векторного потенциала и не зависит от его дивергенции. Тогда из уравнения (*) получаем:

или

Так как в левой части уравнения стоит Лапласиан векторного потенциала, а правая часть уравнения не равна нулю, то полученное уравнение является уравнением Пуассона для векторного потенциала. В этом векторном уравнении содержится три уравнения для проекций векторов на оси координат, в частности для декартовой системы можем записать:

; ; .

Сопоставляя эти уравнения с уравнением Пуассона для скалярного электрического потенциала:

,

можем заметить, что одно уравнение переходит в другое при замене:

и

Решение уравнения Пуассона для скалярного электрического потенциала известно:

поэтому по аналогии можно записать решение уравнения Пуассона для проекций векторного потенциала:

; ; .

Просуммировав умноженные на орты проекции векторного потенциала, получим решение уравнения Пуассона для векторного потенциала магнитного поля (под интегралом геометрическое суммирование):

Интегрирование проводится по всей области (объему), где плотность тока не равна нулю. Наиболее часто электрические токи, создающие магнитное поле, протекают по проводам, поэтому представляет интерес вычисление векторного магнитного потенциала для этого случая.