Вывод закона релаксации магнитной энергии в катушке индуктивности.

В качестве вывода, приведём часть § 95 из книги С.Г. Калашникова «Электричество».

§ 95. Исчезновение и установление тока

Экстратоки самоиндукции в соответствии с законом Лен­ца всегда препятствуют изменениям тока, их вызвавшим. При включении в цепь источника тока экстра­токи направлены противоположно току, создаваемому источником. При выключе­нии источника тока экстратоки имеют то же направление, что и ослабевающий ток источника. Поэтому индуктивность цепи проявляется в замедлении процессов ис­чезновения и установления тока. Рассмо­трим это явление подробнее.

Пусть имеется цепь, содержащая ис­точник тока с ЭДС E , сопротивление r и индуктивность L (рис. 149).

Рис 149. Цепь с индуктивностью, сопротивлением и источником тока

При разом­кнутом ключе К в цепи будет действовать ЭДС источника и в ней установится ток силы i₀ = Ε/r. Если за­мкнуть ключ К, то источник тока будет выключен из цепи и ток начнет исчезать.

Будем считать ток квазистацнонарным и найдем закон исчез­новения тока. Обозначим через i мгновенную силу тока в момент времени t и применим к контуру LKrL второе правило Кирхго­фа (§ 70). Учитывая, что в цепи действует ЭДС самоиндукции –Ldi / dt, имеем

В этом уравнении переменные разделяются:

и поэтому интегрированием находим

Постоянная интегрирования С может быть определена из начального условия. Положим, что источник был выключен в мо­мент

времени t = 0. Тогда начальное условие есть t = 0, i = i₀, откуда С = i₀ . Поэтому закон убывания тока принимает вид

где

Величина Т имеет размерность времени и называется посто­янной времени цепи с индуктивностью и сопротивлением. Из (95.1) видно, что Т есть время, в течение которого сила тока уменьшается

в e = 2,71 раза. Чем больше индуктивность и мень­ше сопротивление, тем медленнее происходит исчезновение тока.

Отметим, что, согласно (95.1), сила тока асимптотически стремится к нулю, так что полное исчезновение тока (i = 0) наступает только через время t = ∞. Однако практически ис­чезновение тока обозначает, что его сила сделалась достаточно малой. А такое почти установившееся состояние достигается в конечное время, однако тем большее, чем больше постоянная времени Т.