Математика процессов обратных связей. Отрицательнгая (ООС) и положительная (ПОС) обратные связи.

Обратные связи (ОС) – это взаимодействие сигналов во времени (влияние следствия на его причину). ОС были первоначально обнаружены практическим способом в усилительных устройствах. Оказалось, что полярность сигнала (направление его роста во времени) играет определяющую роль при сложении входного и выходного сигналов. Полярность входного сигнала берётся за основу. Если представить такой входной сигнал как линейно возрастающий ( «пилообразный» ), то на выходе мы можем иметь два варианта полярности этого сигнала - линейно возрастающий во времени или линейно убывающий во времени. Создавая ОС, мы тем самым часть выходного сигнала подаём на вход. Здесь заметим, что сигналы электронных усилителей распространяются мгновенно и поэтому взаимодействуют во времени согласно обычным математическим уравнениям ОС. Полярность поданного с выхода на вход сигнала определяет Отрицательную ОС (ООС, в нашем случае линейно убывающий сигнал) и Положительную ОС (ПОС, в нашем случае линейно возрастающий сигнал). Казалось бы, полярность сигнала определяет свойства пространства, однако возникает взаимодействие пространства во времени.

Алгоритм взаимодействия причины и следствия для линейно возрастающего сигнала при ПОС:

1. Входной сигнал растёт.

2. Часть выходного сигнала на входе суммируется с входным сигналом, поэтому выходной имеет большую величину, чем входной.

3. Таким образом, выходной сигнал – это «будущее» для входного сигнала.

Таким образом, при включении ПОС мы имеем попытку совершить путешествие во времени из настоящего в будущее. Чем закончиться такая попытка? Мы знаем, что ПОС – это НЕСТАБИЛЬНОЕ состояние, сопровождающееся ГЕНЕРАЦИЕЙ сигнала. В природе ПОС можно идентифицировать с такими явлениями, как многократные зеркальные отражения: если встать между параллельными плоскими зеркалами, направленными навстречу друг другу, то можно увидеть многократные зеркальные отражения; если между зеркалами будет очень маленький угол, то количество отражений будет практически бесконечным. Также явление многократных отражений, в частности, сопутствует явлению ГЕНЕРАЦИИ лазерного луча. То есть различного рода автогенераторы, лазеры – всё это попытки совершить путешествие в будущее.

Алгоритм взаимодействия причины и следствия для линейно возрастающего сигнала при ООС:

1. Входной сигнал растёт.

2. Часть выходного сигнала на входе вычитается из входного сигнала, поэтому выходной сигнал имеет меньшую величину, чем входной.

3. Таким образом, выходной сигнал – это «прошлое» для входного сигнала.

Таким оьразом, при включении ООС возникает попытка совершить путешествие во времени из настоящего в прошлое. Чем закончиться такая попытка? ООС – это СТАБИЛЬНОЕ состояние, сопровождающееся ОГРАНИЧЕНИЕМ. В фантастическом рассказе «И грянул гром.» Рэя Брэдбери говориться о путешествии в прошлое - там происходит ИЗМЕНЕНИЕ мира будущего из-за гибели одной бабочки в мире прошлого. Но в усилителе с ООС происходит ОГРАНИЧЕНИЕ, то есть «Эффект бабочки» в нашем мире недостижим из-за свойства пространства и времени создавать ООС и некоторого ОГРАНИЧЕНИЯ, преодолеть которое невозможно. Об ООС ещё говорят как о СТАБИЛИЗАЦИИ.

Итак, мы имеем 2 явления: ПОС - нестабильное, приводящее к ГЕНЕРАЦИИ колебаний, и ООС - более стабильное, чем обычно, из-за процесса САМООГРАНИЧЕНИЯ.

Электрические сигналы также пытаются «путешествовать» во времени. Как мы знаем, электрические сигналы измеряются в Ваттах и имеют вид тепловых потоков. Увеличивая мощность экспериментальных установок, работающих с ПОС и ООС, можно построить машину времени! Но это произойдёт только в том случае, если пространство и время «сдадут свои позиции» абсолютно синхронных сущностей.

Рассмотрим математические модели ОС. В математике функции с ОС являются неявными функциями:

Рис. 1.4.9. Блок-схема системы с ОС: 1 - блок функции обратной связи, 2 - блок сумматора на входе, 3 - блок функции прямой связи, x - входной сигнал, p - сигнал обратной связи, s – промежуточный сигнал, y - выходной сигнал. Соответственно y = F(s) - функция прямой передачи, p=L(y) - функция обратной передачи.

Для различных вариантов функции y = F(s) можно получить разные функциональные зависимости с ОС - линейную, экспоненциальную, степенную и другие.

1.4.2.3. Уравнение ОС для линейной функции y = F(s) усилителя. ООС.

В усилителях происходит усиление сигнала, поэтому функция прямой передачи имеет вид y = β*s - такую функцию назовём линейной. В блок-схеме на рис. 1.4.9 для ООС, применённой к линейной функции:

y = β *s - функция прямой передачи ( блок 3 ), где β - коэффициент усиления.

η = - p/y - коэффициент обратной связи (ООС, блок 1),

s = x + p - функция сумматора ( блок 2).

В результате получаем при ООС:

y = β *( x - η y ),

откуда формулы для y и s:

y = x * β /( 1 + β η ) (1.4.05),

s = x/(1 + β η) (1.4.06).

Мы получили уменьшение коэффициента усиления в усилителе, охваченном ООС.