МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ

Основные понятия и определения

Методфазовой плоскости впервые был применен для исследования нелинейных систем французским учёным Анри Пуанкаре. Основное преимущество этого метода – наглядность анализа движений нелинейной системы. Метод является качественным, т.е. он позволяет получать качественные выводы о свойствах движений нелинейной системы. Основной недостаток этого метода заключается в том, что он обладает большой эффективностью лишь при исследовании систем второго порядка. Иногда удаётся провести исследование систем третьего порядка. При более высоком порядке системы метод теряет наглядность и применяется редко.

Уравнения исследуемой системы обычно берутся в виде

, . (10.1)

Метод фазовой плоскости заключается в исследовании характера свободных движений нелинейных динамических систем типа (10.1) путем построения их фазовых траекторий на фазовой плоскости. Как известно, свободные движения динамических систем вызываются ненулевыми начальными условиями. Обозначим – вектор начальных условий. Это означает, что

,

где

.

Фазовое пространство (пространство состояний), в общем случае, – это линейное n-мерное пространство, координатами которого являются компоненты вектора состояний, т.е.

переменные состояния исследуемой системы. При пространство вырождается в плоскость, которая называется фазовой плоскостью. Она показана на рис. 10.1.

Если взять моменты времени: …, причем и , то каждому моменту времени … будут соответствовать значения переменных состояния: системы (10.1). Каждая пара этих значений … определяет некоторую точку на фазовой плоскости. Эти точки, соответствующие моментам времени , показаны на рис. 10.1. Соединяя точки, соответствующие различным моментам времени, получим кривую, каждая точка которой соответствует состоянию системы (10.1) в соответствующий момент времени t.

Полученная линия называется траекторией системы или фазовой траекторией.

Каждая фазовая траектория данной системы определяется некоторыми начальными условиями. Задавая различные начальные условия, получим различные фазовые траектории одной и той же системы.

Совокупность фазовых траекторий и других элементов фазовой плоскости, отражающих свойства нелинейной системы, называется фазовым портретом системы.

Фазовый портрет позволяет без дополнительных выкладок и без определения решений нелинейной системы (10.1) сделать выводы о таких её свойствах, как:

- количество положений равновесия системы,

- характер движений системы в окрестности каждого положения равновесия,

- устойчивость положений равновесия,

- наличие или отсутствие периодических движений системы,

- наличие или отсутствие областей с различным характером фазовых траекторий и т. д.