Общие свойства нелинейностей. Типовые звенья

Общее обозначение нелинейных элементов или звеньев показано на рис. 9.7. Здесь – нелинейность, т.е. характеристика нелинейного звена. Она описывает зависимость его выходного сигнала от входного х при очень медленном изменении последнего. При этом х – это также отклонение входного сигнала в данном случае от нуля.

В общем случае характеристики нелинейных звеньев могут быть:

1. Симметричными. В этом случае выполняется либо условие , либо условие . В первом случае характеристики называются нечётными, а во втором – четными.

2. Непрерывными. В этом случае в любой точке нелинейной характеристики предел справа равен пределу слева, т.е.

.

3. Разрывными. В этом случае в некоторых точках хⁱ нелинейности предел справа не равен пределу слева, т. е.

.

4. Однозначными или многозначными. В случае двузначной характеристики говорят, что нелинейный элемент обладает гистерезисом. В общем случае нелинейные звенья с неоднозначными характеристиками ведут к более существенному изменению свойств системы.

5. Обычно , но не всегда. Например, для петли гистерезиса (см. рис. 9.2) .

6. С насыщением. Нелинейности, обладающие насыщением,характеризуется тем, что при больших значениях модуля входной величины модуль выходной величины нелинейного звена достигает максимального значения C, а затем перестает изменяться, т.е. остается постоянным, несмотря на увеличение входной величины. Нелинейная характеристика с насыщением (сплошная линия) показана на рис. 9.8.

Аналитическое описание нелинейности с насыщением имеет вид

Насыщением обладают практически все реальные элементы. В частности, статическая характеристика «вход-выход» всех электронных усилителей имеет насыщение.

7. С зоной нечувствительности. Характеристика с зоной нечувствительности (сплошная линия) показана на рис. 9.9. Здесь интервал значений от до является зоной нечувствительности, так как при изменении величины в этом диапазоне выходная величина y звена равна нулю.

Характеристики с зоной нечувствительности могут быть описаны выражением вида:

К примеру, зону нечувствительности имеет нелинейная зависимость скорости холостого хода двигателя постоянного тока от напряжения на якоре при постоянном напряжении на обмотке возбуждения. При отсутствии нагрузки «величина зоны нечувствительности» двигателя постоянного тока, т.е. величина , равна напряжению трогания, которое обусловлено моментом трения в подшипниках якоря двигателя.

Характеристики с зоной нечувствительности – одни из самых распространенных нелинейностей. Характеристикой такого типа обладает большинство датчиков. Например, проволочный потенциометрический датчик (см. рис. 9.4) имеет характеристику, показанную на рис. 9.10. Зона нечувствительности проволочного датчика – равна толщине витка обмотки.

Чувствительные элементы, питаемые переменным током, тоже имеют зону нечувствительности, которая обусловлена влиянием высших гармоник. В этом случае характеристика обычно имеет вид, показанный на рис. 9.11. Когда значение входной величины изменяется внутри зоны нечувствительности, выходная переменная датчика переменного тока является случайной величиной, среднее значение которой равно нулю. Лишь за пределами зоны нечувствительности шириной выходная переменная y = Z(x)датчика начинает изменяться вполне определенным образом. Отметим, что именно зоны нечувствительности элементов в первую очередь определяют статическую точность систем управления.

Рассмотрим некоторые типовые нелинейные звенья (нелинейности) и их характеристики.

Идеальное реле (знаковая функция).Данная нелинейность показана на рис. 9.12 сплошными линиями. При х = 0 эта характеристика не определена. Её аналитическое описание имеет вид

Данной характеристикой описывается, например, поляризованное реле, схема которого показана на рис. 9.13. При подаче на обмотку такого реле напряжения одной полярности магнитный поток и сила притяжения якоря к магниту N–S уменьшаются, и замыкается верхняя пара контактов. В цепи нагрузки формируется напряжение одного знака. При подаче на обмотку реле напряжения противоположной полярности магнитный поток наоборот увеличится, и замкнётся нижняя пара контактов. В результате на нагрузку будет подано напряжение другого знака.

Знаковая функция является идеализацией реальных характеристик, одна из которых показана на рис. 9.12 штриховой линией. Элементы, описываемые знаковой функцией, применяются, в частности, при реализации оптимального управления.

Трехпозиционное реле.Эта нелинейность имеет вид, показанный на рис. 9.14. Как видно, она является разрывной, симметричной, нечетной и однозначной. Аналитически она описывается выражением

Здесь – зона нечувствительности данного реле.

При х_а → 0 эта характеристика переходит в нелинейность – идеальное реле. Характеристику, показанную на рис. 9.14, имеет схема, приведённая на рис. 9.15, если принять, что ток отпускания обоих реле равен их току срабатывания (на самом деле, ток отпускания всегда меньше тока срабатывания, но не намного). Входная переменная x представлена здесь током обмоток реле. Зона нечувствительности х_а определяется током срабатывания, а величина С равна E.

Трехпозиционное реле с гистерезисом.Гистерезис может быть положительным или отрицательным. Характеристика трехпозиционного реле с положительным гистерезисом приведена на рис. 9.16,а. Здесь переход Z(х) от нулевого значения к ненулевому происходит при или . Интервал значений от до является зоной нечувствительности; интервалы от до и от до являются областью неоднозначности (областью гистерезиса).

При отрицательном гистерезисе (рис. 9.16,б) переход Z(х) от нулевого значения к ненулевому происходит при или .

В аналитическом описании характеристик с гистерезисом учитываются не только значения величины , но и скорость её изменения. В частности, при положительном гистерезисе (рис. 9.16,а) имеет место следующее выражение:

Примером нелинейного элемента, который может быть описан данной характеристикой, является показанный на рис. 9.15 релейный элемент, если не пренебрегать тем, что ток отпускания реле меньше тока срабатывания. В этой схеме величина х_а (см. рис. 9.16,а) определяется током срабатывания, а величина х_b – током отпускания реле.

Люфт.Эта характеристика обычно присуща механическим передачам и обусловлена зазором (люфтом) в сочленениях элементов. Она приведена на рис. 9.17. Аналитическое описание её практически не используется, так как является очень сложным и непрактичным. Обычно оно заменяется словесным, например, следующим.

Если величина возрастает, то зависимость соответствует прямой, смещенной

вправо от нуля на величину х_а. Если же величина х убывает, то зависимость соответствует прямой, смещенной влево от нуля на величину х_а. При изменении знака скорости величины x вначале наблюдается холостой ход, то есть выходная величина не меняется, пока x не изменится на величину большую 2х_а.

Характеристика люфта является неоднозначной и вносит некоторое запаздывание в работу систем управления. Она весьма отрицательно сказывается на свойствах динамических систем. Помимо уменьшения точности, она может приводить к возникновению незатухающих колебаний в системе, амплитуда которых может значительно превышать значение x_a. Коэффициент передачи звена типа «люфт», в линейном режиме равен тангенсу угла , как показано на рис. 9.17.

На рис. 9.18 показана причина образования этой нелинейности в шарнирном соединении. Хорошо видно, что пока вилка, поворачиваясь вместе с ведущим валом на угол , не касается пальца, соединенного с ведомым валом, последний неподвижен, а после касания – поворачивается вместе с ведущим валом на угол . На рис. 9.18 – это угол, на который повернулся ведущий вал до касания вилки и пальца. При изменении направления вращения ведущего вала ведомый вал сначала останавливается, так как вилка отходит от пальца, а затем, после того как люфт (ширина вилки) будет выбран, ведомый вал начинает вращаться вместе с ведущим.

Кусочно-линейная характеристика. Эта характеристика приведена на рис. 9.19. Как видно, она состоит из ряда линейных участков, с различным углом наклона. Этой характеристикой обычно описывают исполнительные механизмы различных типов, тиристорные или магнитные усилители и т.д. Как правило, кусочно-линейная характеристика является кусочно-линейным приближением гладкой характеристики реальных нелинейных элементов.

Реальные элементы систем часто имеют характеристики, являющиеся комбинацией

указанных типов нелинейностей.

Если реальная нелинейная характеристика имеет линейный участок в окрестности точки , то соответствующая ей типовая характеристика имеет линейный участок, проходящий под наклоном . Это связано с тем, что значение коэффициента передачи реального нелинейного элемента в окрестности точки , обычно относят к линейной части системы. Все нелинейности считаются безынерционными, так как присущие реальным элементам постоянные времени (например, электромагнитная постоянная обмотки реле) также относят к линейным элементам нелинейных систем. Однако, несмотря на это, многозначные нелинейные характеристики (например, с положительным гистерезисом) вносят дополнительное запаздывание, что приводит к сдвигу фазы гармонических составляющих в разложении выходного сигнала таких элементов в ряд Фурье. Поэтому нелинейные звенья с неоднозначными статическими характеристиками фактически являются динамическими нелинейными звеньями.