Кинематика вращательного движения

Наиболее простой случай вращательного движения абсолютно твердого тела – вращение относительно неподвижной оси – движение, при котором точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на прямой, называемой осью вращения.

При описании вращательного движения удобно пользоваться полярными координатами R и φ, где R – расстояние от полюса (центра вращения) до материальной точки, а φ – угол поворота (полярный угол).

Угловое перемещение - векторная величина, модуль которой равен углу поворота, а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта (рис.1.6).

Для измерения угла поворота φ в системе СИ используют единицу измерения – радиан.

Угловая скорость

Угловой скоростью тела называют вектор , численно равный первой производной угла j по времени, направленный вдоль оси вращения по правилу буравчика, так же как вектор :

(1.2.1.)

Угловая скорость (единица измерения в СИ - ) характеризует направление и быстроту вращения тела вокруг оси. Если то движение называют равномерным вращением вокруг неподвижной оси.

Скорость произвольной точки M тела, вращающегося с угловой скоростью , часто называют линейной скоростью этой точки.

линейная скорость υ точки связана с угловой скоростью ω и радиусом R траектории соотношением

,

где DS – путь, который проходит точка за время Dt (рис.1.7.).

В векторном виде формулу для линейной скорости можно записать как векторное произведение

.

(1.2.2,а)

Модуль линейной скорости

. (1.2.2,б)

При равномерном вращении угловая скорость , а угол поворота .

Единицей угловой скорости в системе СИ является радиан в секунду .

Угловая скорость w - есть величина постоянная, она указывает, на какой угол поворачивается тело за единицу времени. В этом случае она называется круговой или циклической частотой.

Равномерное движение можно охарактеризовать также периодом обращения. Периодом вращения T называют промежуток времени, в течении которого тело равномерно вращаясь с угловой скоростью w, совершает один оборот, то есть j = 2p:

Частотой вращения n называют число оборотов, совершаемых телом за 1 секунду при равномерном вращении:

,

(1.2.3)

Единица частоты вращения – герц (Гц).

Угловое ускорение

Быстрота изменения угловой скорости характеризуется угловым ускорением (в СИ единицей углового ускорения является ):

(1.2.4,а)

При неподвижной оси вращения векторы и коллинеарны и направлены вдоль оси вращения. При ускоренном вращении векторы и одинаково направлены, при замедленном вращении - противоположно направлены.

Направим ось OZ по оси вращения OO^/(см. рис. 1.8), при этом проекция вектора на ось OZ:

.

(1.2.4,б)

Ускорение произвольной точки M тела, вращающегося с угловым ускорением , называют линейным ускорением этой точки. Согласно выражению (1.1.12) линейное ускорение представляет собой векторную сумму тангенциального и нормального ускорений точки M твердого тела, причем, а =w×R (см. (1.2.2,а)) и, как следствие, Что касается нормального ускорения , то с учетом уравнения (1.2.2,а) можно получить: Таким образом, модуль линейного ускорения равен

(1.2.5)

Из рис. 1.8 следует, что вектор тангенциального ускорения , сонаправленный с вектором линейной скорости , перпендикулярен как вектору , так и вектору , и направлен в ту же сторону, что и результат векторного произведения Таким образом,

(1.2.6,а)

С учетом того, что (см. рис. 1.8), можно показать:

(1.2.6,б)

Нормальное ускорение направлено противоположно радиусу - вектору проведенному в точку M из центра окружности (по которой движется точка M) (см. рис. 1.8). Поэтому

(1.2.6,в)

где - единичный вектор, направленный по радиусу - вектору

уравнения кинематики вращательного движения твердого тела относительно оси OZ ­­ OO^/

1. Равномерное вращение.

, w_z = w = const > 0. При этом (см. (1.2.1))

(1.2.7)

где j₀ – значение j в начальный момент времени (t = 0).

2. Равнопеременное вращение относительно оси OZ.

e_z = const. При e_z > 0 – вращение равноускоренное; При e_z < 0 – вращение равнозамедленное; w_z = w = const > 0. Из выражения (1.2.4,б) следует, что

(1.2.8)

где w₀ – начальная скорость. Кроме того,

.

(1.2.9)

Часто для простоты записи в выражениях (1.2.8) и (1.2.9) вместо e_z используют e.

Путь, который проходит твердое тело при равноускоренном вращательном движении

.

В целом полученные выше сведения по кинематике можно занести в таблицу аналогий (табл. 1).

Таблица 1

Поступательное движение	Вращательное движение	Формулы связи
S		S = R×j
Равномерное движение
	, wz = w = const > 0
Равнопеременное движение
an = 0, at = const	ez = const; wz = w = const > 0

Глава 2. Динамика