ПОДБОР СЕЧЕНИЯ ЦЕНТРАЛЬНО-СЖАТОГО СТЕРЖНЯ (ЗАДАЧА № 35)
Рис. 6.4. К решению примера 1: а – сжатый стержень; б – поперечное сечение стержня |
Пример 1
Условие задачи
Стержень, показанный на рис. 6.4, а,сжимается силой F = 600 кН. Сечение стержня, состоящее из двух равнополочных уголков, изображено на рис. 6.4, б. Материал стержня – сталь С235. Требуется подобрать размеры уголков так, чтобы выполнялись условия устойчивости и прочности и расход материала был минимальным. Ослабления составляют 15% площади сечения.
Решение
Сечение стержня состоит из уголков (прокатного профиля), поэтому используем для подбора сечения метод последовательных попыток. Поскольку в условии устойчивости имеем сразу две неизвестные величины ( и ), то одной из них задаемся произвольно. Удобно задаться . Тогда из условия устойчивости (6.6) найдем
Площадь одного уголка Из сортамента прокатной стали выбираем уголок, удовлетворяющий этому условию. Отметим, что в сортаменте может быть несколько уголков с примерно одинаковой площадью: уголки с длинной полкой и тонкой стенкой и уголки с короткой, но более толстой стенкой. Выбирать следует самые тонкие уголки, так как при одинаковой площади радиус инерции у тонких уголков больше и, следовательно, гибкость стержня с сечением из тонкого уголка меньше, а чем меньше гибкость, тем более устойчив стержень. В рассматриваемом примере выберем уголок 180´11, площадь которого . Найдем радиусы инерции относительно главных центральных осей y и z, которыми являются оси симметрии сечения (см. рис. 6.4, б). Следует ожидать, что радиус инерции относительно оси y будет минимальным, так как материал ближе расположен к оси y, чем к оси z. Убедимся в этом.
Радиус инерции одного уголка относительно оси берем из сортамента: , а расстояние а (см. рис. 6.4, б) сосчитаем:
Таким образом, очевидно, что
и
Теперь найдем гибкость стержня[18]
и из таблицы, интерполируя, найдем . Проверим условие устойчивости:
Условие устойчивости выполняется, но сечение не является экономичным, поэтому сделаем еще попытку. Уменьшим размеры сечения и примем самый тонкий уголок их тех, у которых длина полки 160 мм, а именно, уголок 160´10. , и гибкость стержня
По таблице находим и видим, что условие устойчивости выполняется с небольшим запасом:
Сечение из двух уголков 160´10 можно считать экономичным[19]. Условие прочности для подобранного сечения тоже выполняется, поскольку согласно условию .
В заключение найдем действительный коэффициент запаса устойчивости. Поскольку стержень с подобранным сечением из уголков 160´10 имеет гибкость , находящуюся в пределах между и , то определяем критическую силу по формуле Ясинского:
Действительный коэффициент запаса устойчивости
Пример 2
Условие задачи
Рис. 6.5. Сжатый стержень квадратного поперечного сечения |
Деревянная стойка длиной l = 4 м квадратного поперечного сечения сжимается силой F = 100 кН (рис. 6.5). Требуется подобрать размер стороны квадрата а так, чтобы выполнялись условия устойчивости и прочности и расход материала был минимальным. Ослабления составляют 15 % площади сечения. Примем допускаемое напряжение на сжатие для дерева
Решение
Поскольку размеры сечения могут быть любыми, используем метод последовательных приближений. Выполним первое приближение. Примем . Из условия устойчивости (6.6) найдем площадь сечения, подставив :
.
Поскольку , то . Найдем минимальный радиус инерции сечения. Для квадрата любая ось является главной и радиус инерции относительно любой оси
.
Зная радиус инерции, вычислим гибкость стержня по формуле (6.1):
.
По таблице находим для дерева . Полученное значение еще сильно отличатся от величины , принятой в начале первого приближения, поэтому выполним второе приближение. Найдем как среднее арифметическое между и :
и повторим все действия, выполненные в первом приближении:
Этой гибкости соответствует . Выполним еще одно, третье, приближение:
Соответствующее этой гибкости значение отличается от на 1,2 %. Такая точность достаточна, поэтому примем . Для этого размера в условии устойчивости
достигнуто желаемое равенство.
В заключение проверим условие прочности, считая .
.
Дата добавления: 2016-11-29; просмотров: 3351;