Общее уравнение баланса массы

В расчетах процессов химической технологии обычно используется система координат Эйлера, т. е. система координат, фиксированная относительно некоторого неподвижного объема пространства, через который протекает материальная среда. Такой объем называют контрольным, а поверхность, ограничивающую контрольный объем, именуют контрольной.

Рис. 7.1. Контрольная поверхность

Выделим на контрольной поверхности S элементарную площадку dS и восстановим к ней нормаль n (см. рис. 7.1). Тогда интегральное уравнение баланса массы (при отсутствии процессов диффузионного переноса) будет иметь вид

,

где ρ – плотность;

τ– время;

x – угол между вектором скорости и нормалью к контрольной поверхности S.

Первый интеграл в уравнении характеризует расход вещества через контрольную поверхность, а второй – скорость накопления вещества в контрольном объеме.

Для химических аппаратов можно полагать, что вектор скорости потока перпендикулярен контрольной поверхности в точках входа и выхода и параллелен ей в остальных точках, поэтому это уравнение можно проинтегрировать:

Два первых слагаемых в уравнении есть разность потоков на выходе и входе в аппарат, а третье – скорость накопления вещества в аппарате. Средняя скорость потока ū определяется выражением (по теореме о среднем)

Если определить массовый расход как W=ρūS, то предпоследнее уравнение примет вид

.

Для стационарного процесса

Все эти уравнения являются балансом массы по всему веществу, проходящему через контрольный объем. Уравнение баланса массы по компоненту в такой же форме можно записать так:

,

где R_i - скорость образования или расходования компонента i за счет химической реакции.

Последнее уравнение получено в предположении отсутствия диффузионных потоков. Его можно записать для каждого компонента системы. В сумме они дадут уравнение баланса массы по всему веществу, так как åR_i=0.

Таким образом, для n-компонентной системы можно составить n уравнений, причем одно уравнение общего баланса массы и (n-1) уравнение балансов массы по компонентам смеси.

При отсутствии химических реакций уравнение общего баланса массы можно записать в мольных расходах:

При наличии химического взаимодействия уравнение в мольных расходах по компоненту примет вид

где N_i – число молей компонента.

Суммирование последнего уравнения по всем компонентам дает

В общем случае сумма скоростей превращения компонентов (SR_i) не всегда равна нулю, так как число молей в процессе реакции может изменяться. Рассмотрим пример применения уравнения материального баланса к нестационарному процессу.

Пример 7.3. При упрощенном способе производства Н₃РО₄ в хорошо перемешиваемую емкость, где реагирует 4000 кг/ч взвешенного в воде Са₃(РО₄)₂, подается стехиометрическое количество 94 %-ной серной кислоты. Вместе с фосфоритной мукой подается вода, в количестве достаточном для получения при стационарном ходе процесса 40 %-ной фосфорной кислоты. Образующиеся раствор фосфорной кислоты и гипс (CaSO₄·2H₂O) равномерно удаляются из смесителя, так что общая масса в нем остается постоянной. Какова будет концентрация раствора фосфорной кислоты в емкости по истечении 1 часа работы, если процесс начался, когда в емкости находилось 4000 кг 20 %-ной фосфорной кислоты?

Решение: Запишем уравнение реакции и проведем стехиометрические расчеты в предположении полного превращения фосфорита:

Ca₃(PO₄)₂+3H₂SO₄+6H₂O=2H₃PO₄+3(CaSO₄·2H₂O).

Или в буквенном выражении:

-A-3C-6B+2F+3G=0.

Молекулярные массы компонентов реакции в кг/кмоль:

M_A=310,18; M_C=98,07; M_B=18,02; M_F=98,00; M_G=172,17.

Определим коэффициент расхода по фосфориту

Тогда расходы компонентов будут равны (кг/ч):

W_C0=W_C-w· (-3) M_C=0-12,896×(-3) 98,07=3791,1;

W_B0=0-12,896·(-6)·18,02=1394,3;

W_F=W_F0+w·2·M_F=0+12,896·2·98,00=2527,6;

W_G=0+12,896·3·172,17=6660,8.

Определим количество воды, подаваемой с фосфоритной мукой. Составим баланс по воде

По условию задачи Расход воды, уходящей с фосфорной кислотой

W_B2=W_F(1-0,4)/0,4=2527,6(1-0,4)/0,4=3791,4 кг/ч.

Расход воды, приносимой с серной кислотой

W_B1=W_C(1-0,94)/0,94+W’_B1=242+ W’_B кг/ч.

Скорость образования воды по химической реакции R_W=W_B0=1394,3 кг/ч.

Тогда расход воды, подаваемой с фосфоритной мукой

W’_B1=3791,4+1394,3-242=4943,7 кг/ч.

Составим баланс по фосфорной кислоте:

;

W_F1=0; W_F2=xW’₂; R_F=W_F=2527,6 кг/ч;

где x – концентрация фосфорной кислоты на выходе из емкости и в самой емкости;

М – общее количество реакционной смеси, кг.

W’₂=W_F+W_B2=2527,6+3791,4=6319 кг/ч.

Для определения общего количества реакционной смеси (М) составим уравнение баланса по всему веществу:

где M₀ – начальное количество вещества в емкости; М₀=4000 кг.

Тогда

После разделения переменных

Проинтегрируем полученное уравнение в пределах от 0 до t и от 0,2 до x. После преобразований получим x=0,4-0,2exp(-1,580t).

За время 1 час концентрация фосфорной кислоты станет равной

x=0,4-0,2exp(-1,580)=0,3588, или 35,88 %.

Проверка физического смысла полученного решения дает:

при .