Понятие вектора. Коллинеарность векторов.

Противоположный вектор. Сумма векторов (правило треугольника, правило параллелограмма, правило многоугольника), разность векторов, произведение вектора на число. Координаты вектора. Длина вектора. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.

Векторная величина (вектор) – величина, которая характеризуется не только значением, но и направлением (сила, скорость, ускорение и др.). Скалярная величина (скаляр) – величина, не обладающая направлением (масса, электрический заряд, теплоемкость и др.).

Геометрически вектор представляется направленным отрезком прямой линии (рис. 4.1). Вектор обозначается как или (точка – начало, точка – конец вектора). Длина (модуль, норма, абсолютная величина) вектора обозначается или .

Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же прямой). На рис. 4.2 векторы , и – коллинеарные; и – однонаправлены, и – противоположно направлены.

Компланарными векторами называются векторы, лежащие в параллельных плоскостях. Если компланарные векторы привести (параллельным перемещением) к общему началу, то они будут лежать в одной плоскости.

Нулевой вектор (нуль-вектор) – вектор, у которого конец и начало совпадают (его модуль ).

Вектор, модуль которого равен 1, называется единичным вектором или ортом.

Два вектора и равны ( = ), если они одинаково направлены и имеют один и тот же модуль ( = ).

Векторы, имеющие равные модули и противоположно направленные, называются противоположными векторами. Вектор, противоположный вектору , обозначается через – ( = ). Из определения противоположного вектора следует –(– )= .

Ось – прямая, на которой выделено одно из двух ее направлений. Это выделенное направление называется положительным, а противоположное – отрицательным. Ось можно задать любым вектором, лежащим на ней и имеющим то же направление (рис. 4.3).

Проекция точки на ось есть основание перпендикуляра (точка ), опущенного из т. на эту ось (рис. 4.4).

Компонентой (составляющей) вектора на ось называется вектор , где – проекция начала, а – конца на эту ось (рис. 4.5). Компоненту вектора называют также геометрической проекцией вектора на ось (обозначают ).Если ось задана вектором , то вектор называется также компонентой (геометрической проекцией ) вектора на направление вектора .

Алгебраической проекцией (просто проекцией) вектора на ось (или на направление вектора ) называется длина вектора (см. рис. 4.5), взятая со знаком “+”, если вектор имеет то же направление, что и ось , или “–“, если ― противоположное направление. Проекция обозначается или . Для случая, представленного на рис. 4.5, проекция вектора на ось будет иметь отрицательный знак.

Декартова прямоугольная система координатв пространстве (3-х мерном) представляет собой три взаимно перпендикулярных оси , и , пересекающихся в начале координат , при заданной единице масштаба для всех трех осей (рис. 4.6). Название осей: – ось абсцисс, – ось ординат, – ось аппликат.

Декартовы координаты точки есть расстояния ее проекций (рис. 4.6) на координатные оси от начала координат, взятые со знаком “+”, если проекция лежит по отношению к началу в положительном направлении оси, и со знаком “–“, если ― в отрицательном. Обозначение координат точки: .

Единичные векторы (орты) , , осей , и соответственно (рис. 4.7) образуют систему базисных векторов (базис (ортонормированный)). Эти единичные векторы попарно перпендикулярны друг другу и носят название базисных векторов.

Координаты вектора есть его алгебраические проекции на оси координат. Если начало вектора совмещено с началом координат (рис. 4.7), то координатами вектора будут координаты его конца. Запись координат вектора: .

Если точка является началом вектора , а точка ― его концом (рис. 4.8), то

, (4.1)

а его длина (модуль)

. (4.2)

Направление вектора можно задать углами , , , образуемые положительными направлениями координатных осей , и с вектором (рис. 4.9). Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора:

,

, (4.3)

.

Для этих косинусов справедливо равенство:

. (4.4)

Пример. Найти длину и направляющие косинусы вектора, проведенного из точки в точку .

По формуле (4.1) находим координаты вектора: . Согласно (4.2) длина вектора . По формулам (4.3) находим направляющие косинусы: , , . Проводим проверку на основе равенства (4.4): ►

Линейные операции над векторами

Сумма векторов есть вектор , соответствующий их геометрической сумме (правило параллелограмма) (рис. 4.10). Из рис. 4.10 видно, что если конец вектора совмещен (параллельным перемещением) с началом вектора , то вектор будет соединять начало вектора с концом вектора .

Вычитание векторов есть сумма вектора с вектором ( ), который противоположен вектору : (рис. 4.11).

Если векторы и заданы своими координатами: , , то

= . (4.5)

Вектор можно представить в виде суммы трех его компонент по координатным осям (рис. 4.7):

(4.6)

Эта сумма называется разложением вектора по базисным векторам (базису). Отсюда следует, что координаты вектора – это коэффициенты в разложении (4.6) вектора по базисным векторам.

Произведение вектора на скаляр (число) есть вектор, который коллинеарен вектору , имеет длину и направлен в ту жесторону, что и вектор , если , и в противоположную сторону, если . Если вектор задан своими координатами: , то

= . (4.7)

Сложение векторов и умножение их на скаляры удовлетворяют соотношениям ( и – числа):

.

Пример. Найти координаты вектора , если , .

◄ По заданным разложениям векторов по базису находим их координаты: , . Используя (4.5) и (4.7), получаем ►