Скалярное и векторное произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов (обозначают также или ) есть скаляр (число), равное

= , (4.8)

где – угол между векторами и (рис. 4.12).

Для острого угла между векторами и их скалярное произведение , а для тупого – . Если они взаимно перпендикулярны

( ), то . Для коллинеарных векторов и скалярное произведение = , где знак «+» для однонаправленных векторов, а знак «–» – для противоположно направленных. В частности = , что позволяет записать длину вектора в виде = (отсюда другое название длины вектора – «модуль вектора»).

Единичные базисные векторы прямоугольной декартовой системы координат удовлетворяют соотношениям: , , , . Используя эти соотношения, не трудно получить, что если векторы и заданы своими декартовыми координатами: , , то их скалярное произведение

= . (4.9)

Из определения скалярного произведения (4.8) следует, что угол между векторами

. (4.10)

Свойства скалярного произведения:

= ; ;

; ;

.

Пример. Вычислить , если , .

Используя свойства скалярного произведения, имеем =

= .

Пример. Даны координаты вершин треугольника на плоскости: , , . Найти угол в треугольнике при вершине и длину стороны .

Проведем из вершины векторы в вершины и (рис. 4.13). Тогда угол при вершине будет равен углу между векторами и , а длина стороны равна длине вектора . Находим координаты векторов: , . Согласно формуле (.10) Длина стороны = = .

Векторное произведение (другое обозначение ) двух векторов и есть третий вектор ,

1) модуль которого (т. е. равен площади параллелограмма, построенного на векторах и ),

2) направление перпендикулярно к обоим векторам и (т. е. плоскости упомянутого параллелограмма),

3) направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его повороте от к на угол, меньший (рис 4.14).

Из этого определения векторного произведения следует, что векторы , и образуют правую систему.

Если векторы и коллинеарны ( ), то =0.

Свойства векторного произведения:

; ; ;

; .

Базисные единичные векторы декартовой прямоугольной системы координат удовлетворяют следующим соотношениям:

; ; ; .

Если векторы и заданы своими декартовыми координатами: , , то их векторное произведение

. (4.11)

Смешанным (векторно – скалярным) произведением векторов называется произведение , результатом которого является скаляр (число). Для компланарных векторов их смешанное произведение . Если векторы , и образуют правую тройку, то , если – левую, то .

Смешанное произведение равно объему параллелепипеда , построенного на векторах , и (рис. 4.15), взятому со знаком «+», если векторы , и образуют правую тройку, и со знаком «–», если – левую:

. (4.12)

Если векторы , и заданы своими декартовыми координатами: , , , то их смешанное произведение

(4.13)

Пример. Даны координаты вершин треугольника: , , . Найти площадь .

Направим из вершины треугольника векторы в вершины и (рис. 4.16). Учитывая, что площадь равна половине площади параллелограмма, построенного на этих векторах, площадь которого, в свою очередь, можно выразить через векторное произведение, будем иметь . Находим координаты векторов: , . По формуле (4.11) находим векторное произведение = .

Таким образом, (кв. ед.).

Пример. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , .

Искомый объем найдем по формуле (4.13). Вычисляем смешанное произведение данных векторов: =

. Объем параллелепипеда .