Метод кусочно-линейной аппроксимации

Сущность метода состоит в замене нелинейной характеристики отрезками прямых, что позволяет точно аппроксимировать любую заданную нелинейность.

Для «припасовывания» решений, соответствующих отдельным линейным участкам, на основании законов коммутации находят условия связи между постоянными интегрирования. Рассмотрим применение метода на конкретном примере.

Пример 16. Определить зависимости изменения потокосцепления индуктивной катушки при включении ключа, для схемы на рис.72.а Вебер-амперная характеристика катушки задана графически на рис.72.б Начальные условия: , .

Рис.72. Схема цепи и вебер – амперная характеристика катушки.

Решение. Сначала определяем рабочий участок на кривой намагничивания. В начальный момент времени t= 0 потокосцепление (i =0). В установившемся режиме определяем из вебер-амперной характеристики по вычисленному значению:

. (109)

Таким образом рабочий участок определяется точками 0-2 (рисунок 6.97). На этом участке нелинейная характеристика достаточно точно аппроксимируется двумя отрезками прямых 0-1 и 1-2. На каждом участке индуктивность определяется из графика:

. (110)

Поэтому на каждом участке цепь можно рассматривать как линейную.

Для первого участка:

, (111)

где - установившееся значение при условии линейности при изменении тока от 0 до i_уст:

С учетом (109) получим:

. (112)

Свободная составляющая:

, (113)

где p- корень характеристического уравнения:

. (114)

Постоянную интегрирования определим из начальных условий при t=0, , откуда:

, => . (115)

В итоге для первого участка получаем уравнение:

. (116)

Зависимость при условии показана на рис.73. Продолжительность переходного процесса при этом определяется временем изменения потокосцепления от 0 до , которую определим из выражения (116):

. (117)

Для второго участка при . Закон изменения потокосцепления:

, (118)

где - корень характеристического уравнения;

- установившаяся составляющая.

Постоянную интегрирования А определяем из условия при , с учетом первого этапа , откуда:

; => . (119)

В итоге получаем:

. (120)

Продолжительность переходного процесса определяется временем изменения потокосцепления от до .

Зависимость показана на рис.73.

Рис.73. Изменение потокосцепления после коммутации ключа

ЗАДАЧНИК