Зависимые и независимые события

Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления, то есть:

Р (А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)

или (2.4)

Для несовместных событий их совместное наступление есть невозможное событие Æ, а вероятность его равна нулю. Следовательно, для несовместных событий правило сложения вероятностей принимает следующий вид:

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Для несовместных событий A, B:  
или (2.5)
   

Правило сложения вероятностей справедливо и для конечного числа n попарно несовместных событий, то есть:

P(A1+A2+A3+...+An)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+...P(An)

или

  (2.6)

 

 

В случае нескольких совместных событий необходимо по аналогии с рассуждениями о пересечении двух совместных событий исключить повторный учет областей пересечения событий. Рассмотрим три совместных события.

 
 

 

     
A AB B
     
  ABC  
AC C CB

 

Рис. 2.3

 

Для случая трех совместных событий можно записать:

 

Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(АВ) - Р(АС) - Р(ВС) + Р(АВС).

 

Сумма вероятностей событий А1, А2, А3, ... , Аn, образующих полную группу, равна1, то есть:

P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1

или

(2.7)

 

Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей:

P(AB) = P(A) × P(B),  
P(A B) = P(A) × P(B) (2.8)

 

 

или

События А1, А2, ..., An (n > 2) называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошли или нет любые события из числа остальных.

Распространим теоремы умножения на случаи n независимых и зависимых в совокупности событий.

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.

P(A1 ×A2×A3×…×An) = P(A1)×P(A2) × P(A3) ×…× P(An) (2.9)

Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:

  Р(АВ) = P(B) × Р(А/В) (2.10)  
  Р(А В) = P(B) × Р(А/В)  
  или Р(АВ) = P(A)×Р(В/А)  
  Р(А В) = Р(A)×(В/А)  
Вероятность события В при условии появления события А:  
P(B/A) = или P(B/A) = (2.11)
.  
         

 

Вероятность совместного наступления конечного числа n зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили, т.е.

P(A1 × A2 × A3 ×... ×Аn) = Р(A1) × P(A2 / A1) ×P(A3 / A1 × A2).× . . . ×P(An / A1 × A2 × A3 ×…× An-1) ( 2.12)  

Если события А1, А2, ... An - зависимые в совокупности, то вероятность наступления хотя бы одного из них соответственно равна:

(2.13)


Вероятность появления хотя бы одного события из n независимых в совокупности, равна разности между 1 и произведением вероятностей событий, противоположных данным, то есть:

(2.14)







Дата добавления: 2016-10-26; просмотров: 1391; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2019 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.006 сек.