Зависимые и независимые события

Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления, то есть:

Р (А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)

или (2.4)

Для несовместных событий их совместное наступление есть невозможное событие Æ, а вероятность его равна нулю. Следовательно, для несовместных событий правило сложения вероятностей принимает следующий вид:

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Для несовместных событий A, B:
или	(2.5)

Правило сложения вероятностей справедливо и для конечного числа n попарно несовместных событий, то есть:

P(A₁+A₂+A₃+...+A_n)=P(A₁)+P(A₂)+P(A₃)+...P(A_n)

или

(2.6)

В случае нескольких совместных событий необходимо по аналогии с рассуждениями о пересечении двух совместных событий исключить повторный учет областей пересечения событий. Рассмотрим три совместных события.

Рис. 2.3

Для случая трех совместных событий можно записать:

Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(АВ) - Р(АС) - Р(ВС) + Р(АВС).

Сумма вероятностей событий А₁, А₂, А₃, ... , А_n, образующих полную группу, равна1, то есть:

P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) + ... + P(A_n) = 1

или

(2.7)

Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей:

P(AB) = P(A) × P(B),
P(A B) = P(A) × P(B)	(2.8)

или

События А₁, А₂, ..., A_n (n > 2) называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошли или нет любые события из числа остальных.

Распространим теоремы умножения на случаи n независимых и зависимых в совокупности событий.

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.

P(A₁ ×A₂×A₃×…×A_n) = P(A₁)×P(A₂) × P(A₃) ×…× P(A_n) (2.9)

Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:

	Р(АВ) = P(B) × Р(А/В)	(2.10)
	Р(А В) = P(B) × Р(А/В)
	или Р(АВ) = P(A)×Р(В/А)
	Р(А В) = Р(A)×(В/А)
Вероятность события В при условии появления события А:
P(B/A) = или P(B/A) =	(2.11)
.

 

Вероятность совместного наступления конечного числа n зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили, т.е.

P(A1 × A2 × A3 ×... ×Аn) = Р(A1) × P(A2 / A1) ×P(A3 / A1 × A2).× . . . ×P(An / A1 × A2 × A3 ×…× An-1) ( 2.12)

Если события А₁, А₂, ... A_n - зависимые в совокупности, то вероятность наступления хотя бы одного из них соответственно равна:

(2.13)

Вероятность появления хотя бы одного события из n независимых в совокупности, равна разности между 1 и произведением вероятностей событий, противоположных данным, то есть:

(2.14)

<2345678>

---

Дата добавления: 2016-10-26; просмотров: 2146;

---