Применение уравнения Шредингера

Рис. 3

а) Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме

Предположим, что частица может двигаться только вдоль оси х и ее движение ограничено непроницаемыми стенками в точках х = 0 и х = l.

Зависимость потенциальной энергии от координат имеет в этом случае следующий вид (рис. 3):

(32)

Поскольку волновая функция в данном случае зависит только от координаты х, уравнение Шредингера упрощается следующим образом:

. (33)

Рис. 4

Решая уравнение (6.33) с использованием стандартных условий, можно получить собственные значения энергии частицы:

(34)

Энергетический спектр, как следует из (34), является дискретным. При этом расстояние между соседними энергетическими уровнями не является постоянным, а увеличивается с увеличением номера энергетического уровня. Нормированные собственные функции частицы в этом случае имеют вид

Рис. 5

Графики этих функций показаны на рис. 4.

На рис. 5 дана зависимость плотности вероятности обнаружения частицы от координаты x на различных расстояниях от стенок ямы, равная Y×Y^*.

б) Прохождение частиц через потенциальный барьер

Рис. 6

Пусть частица с энергией Е, движущаяся слева направо вдоль оси х, встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U₀ и шириной l (рис. 6). Из решения уравнения Шредингера в этом случае вытекает, что, во-первых, даже при Е> U₀

имеется отличная от нуля вероятность того, что частица отразится от барьера. Во-вторых, при Е<U₀ имеется отличная от нуля вероятность того, что частица проникнет «сквозь» барьер и окажется в области, где х > l. Вероятность прохождения частицы через барьер может быть названа коэффициентом прозрачности D. Расчеты показывают, что в данном случае

. (36)

Рис. 7

Для потенциального барьера произвольной формы (рис. 7) формула (36) должна быть заменена более общей формулой

, (37)

где U = U(x).

При преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через «туннель» в этом барьере (рис. 7), в связи с чем это явление называют туннельным эффектом.