Топологические определения схемы

С появлением ЭВМ и их широким применением для решения сложных математических задач были разработаны специальные топологические рас­чёта сложных электрических цепей, графов и матриц.

Схема сложной электрической цепи (рис. 83а) может быть заменена (представ­лена) направленным графом (рис. 83б) с соблюдением следующих условий:

1)узлы графа соответствуют узлам схемы;

2)ветви графа соответствуют ветвям схемы;

3) направление ветвей соответствует направлению токов в ветвях схемы.

Любая часть графа называется подграфом. Минимальный связанный подграф, соединяющий все узлы графа и не образующий контуров, называ­ется деревом графа (на схеме графа обозначается жирной линией). Для кон­кретного графа может быть составлено определенное множество вариантов деревьев, но в расчете схемы принимается любой из вариантов. Ветви графа, не входящие в его дерево, называются связями или хордами.

Структура графа и соответственно структура электрической схемы может быть описана с помощью топологических матриц или матриц соеди­нения. Таких матриц несколько, для расчета электрических цепей исполь­зу­ются две основные: - матрица соединений «узлы-ветви» и - мат­рица соединений «контуры-ветви».

В общем случае сложная схема содержит «m» ветвей и «n» узлов, при этом максимальное число ветвей зависит от числа узлов: .

Составим таблицу соединений «узлы-ветви» руководствуясь следую­щими правилами:

1 – ветвь выходит из узла,

-1 – ветвь входит в узел,

0 – отсутствие связи с узлом.

Т а б л и ц а 1

Так как каждая ветвь имеет только один вход (-1) и один выход (+1), то сумма чисел по вертикали для любого столбца равна нулю. Из этого сле­дует, что независимыми являются только 3 из 4 строк таблицы. Матрица со­единений «узлы-ветви» (табл. 2) получается из приведенной выше таб­лицы путем вычеркивания любой строки (например, строки №4):

Т а б л и ц а 2

Размерность матрицы соединений «узлы-ветви» равна , где n-1 – число независимых узлов, m – число ветвей.

Независимыми называются контуры графа, образованные одной из хорд и ветвями дерева. Число независимых контуров соответствующих числу хорд графа: , контуры нумеруются по номеру хорды (1, 2, 3). Направление обхода контура принимается по направлению хорды, ко­торая входит в состав этого контура.

Составим таблицу соединений «контуры-ветви», руководствуясь сле­дующими правилами:

1 – направление ветви совпадает с направлением обхода контура,

-1 – направление ветви не совпадает с направлением обхода контура,

0 - ветвь не входит в контур.

Т а б л и ц а 3

Данная таблица получила название матрицы соединений - «контуры-ветви».Размерность матрицы соединений равна , где – число независимых контуров, m – число ветвей.

Если матрицы соединений и составлены верно, то должно вы­полняться условие: .