Уравнения Ома и Кирхгофа в матричной форме

Если в исследуемой сложной схеме содержатся параллельно вклю­ченные ветви, то для составления матриц соединений такие ветви необхо­димо заменить (объединить) одной эквивалентной ветвью.

В общем случае любая ветвь схемы кроме комплексного сопротивле­ния (проводимости) может содержать источник ЭДС Е_к, источник тока J_к. Схема и граф обобщенной ветви показаны на рис. 1а, б:

Ток ветви I_к, напряжение ветви U_к = j₁ - j₂.

Из потенциального уравнения ветви сле­дуют:

- уравнения Ома для к-ой ветви.

Для всех «m» ветвей составим систему уравнений по этой форме:

Заменим полученную систему из «m» уравнений матричной формой. Для этой цели введем следующие обозначения матриц:

- столбцовые матрицы соответственно напряжений, токов, источников тока и источников ЭДС.

;

Уравнения Ома в матричной форме получат вид:

Уравнения Кирхгофа в обычной форме имеют вид: - первый закон Кирхгофа для узлов, - второй закон Кирхгофа для контуров.

Система уравнений Кирхгофа в матричной форме получается через матрицы соединений и :

Составленная система уравнений содержит “m” неизвестных токов и “m” неизвестных напряжений, всего 2“m” неизвестных, и непосредственно не может быть решена.

- “m” уравнений Кирхгофа для токов в матричной форме.

Сделаем подстановку матрицы из матричных уравнений закона Ома, получим:

Для сравнения приведем те же уравнения в обычной форме:

- “m” уравнений Кирхгофа для напряжений в матричной форме.

Сделаем подстановку матрицы из матричного уравнения закона Ома, получим:

Для сравнения приведем те же уравнения в обычной форме: