Метод узловых потенциалов

Теоретическая база метода узловых потенциалов – 1-ый закон Кирхгофа в сочетании с потенциальными уравнениями ветвей. В этом методе потенциал одного из узлов схемы при­нимают равным нулю, а потенциалы остальных (n-1) узлов считают неизвестными, подле­жащими определению. Общее число неиз­вестных составляет (n-1).

Рассмотрим обобщенную ветвь некоторой сложной схемы (рис. 18).

Свяжем потенциалы концов ветви (узлов) между собой через падения напряжений на отдельных участках:

или

Уравнение, связывающее потенциалы конечных точек ветви через паде­ния напряже­ний на ее отдельных участках, называется потенциальным уравне­нием ветви.

Из потенциального уравнения ветви могут быть определены ток ветви и напряжение на резисторе:

, .

Пусть требуется выполнить расчет режима в заданной сложной схеме рис. 19. Пара­метры отдельных элементов схемы заданы.

Принимаем потенциал узла 0 равным нулю (j₀ = 0), а потенциалы узлов 1 и 2 (j₁ и j₂) будем считать неизвестными, подлежащими определению.

Зададимся положительными направлениями токов в ветвях схемы I₁, I₂, I₃, I₄, I₅. Со­ставим потенциальные уравнения ветвей и выразим из них токи ветвей:

I₁ = (j₁ – j₀ + E₁ )/ R₁

I₂ = (j₂ – j₀ + E₂ )/ R₂

I₃ = (j₁ – j₀ + E₃ )/ R₃

I₄ = (j₀ – j₁ )/ R₄

I₅ = (j₀ - j₂ )/ R₅

Составим (n-1) уравнение по 1-му закону Кирхгофа для узлов 1 и 2:

-I₁ – I₃ + I₄ – J₁ – J₂ = 0

-I₂ + I₃ + I₅ + J₂ =0

Подставим значения токов из потенциальных уравнений в уравнения 1-го закона Кирхгофа. После приведения коэффициентов получим систему узловых уравнений:

В обобщенной форме система узловых уравнений имеет вид:

Здесь введены следующие обозначения:

G₁₁ =1/R₁ +1/R₃ +1/R₄; G₂₂ =1/R₂ +1/R₃ +1/R₅ и т.д. – собственные прово­димости узлов, равные суммам проводимостей всех ветвей, сходящихся в дан­ном узле, всегда положи­тельны;

G₁₂ = G₂₁ = 1/R₃; G_nm = G_mn– взаимные проводимости между смежными узлами (1 и 2, m и n), равные сумме проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы, всегда отрицательны;

J₁₁ = - E₁ /R₃ – E₃ /R₃ – J₁; J₁₁ =- E₂ /R₂ – E₃ /R₃ + J₁ и т.д. – узловые токи уз­лов, равные алгебраической сумме слагаемых E/R и J от всех ветвей, сходя­щихся в узле (знак ”+”, если источник действует к узлу, и знак “-” , если источ­ник действует от узла).

Система узловых уравнений в матричной форме:

или сокращенно ,

где - матрица узловых проводимостей, - матрица узловых по­тенциа­лов, - матрица узловых токов.

Последовательность (алгоритм) расчета.

1) Принимают потенциал одного из узлов схемы равным нулю, а потен­циалы осталь­ных (n-1) узла считают неизвестными, подлежащими определе­нию.

2) Руководствуясь обобщенной формой, составляют (n-1) уравнение для узлов с неиз­вестными потенциалами.

3) Определяются коэффициенты узловых уравнений и составляются их матрицы.

4) Система узловых уравнений решается на ЭВМ по стандартной про­грамме для ре­шения систем линейных алгебраических уравнений с веществен­ными коэффициентами (SU1), в результате чего определяются неизвестные по­тенциалы узлов j₁, j₂, …

5) Выбираются положительные направления токов в ветвях исходной схемы I₁, I₂ , I₃, I₄, I₅. Токи ветвей определяются из потенциальных уравнений ветвей через потенциалы узлов j₁, j₂, ….

6) При необходимости определяются напряжения на отдельных элемен­тах (U_k = I_kR_k), мощности источников энергии (P_Ek = E_kI_k, P_Jk = U_k J_k) и приемни­ков энергии (P_k = I_k² ×R_k).

Метод двух узлов

Метод двух узлов является частным случаем метода узловых потенциалов при числе узлов в схеме n = 2 (рис. 20).

Принимаем j₀ = 0, тогда уравнение для узла 1 по методу узловых потен­циалов будет иметь вид: j₁G₁₁ = J₁₁, откуда следует непосредственное опреде­ление напряжения между уз­лами схемы:

- уравнение метода двух узлов.

Применительно к схеме рис. 20 данное уравнение примет конкретную форму: