Динамика поступательного и вращательного движения

План решения задач с помощью законов динамики

1. Поступательное движение тел.

1) Выделите систему взаимодействующих тел. Сделайте рисунок.

2) Укажите на рисунке силы, действующие на каждое тело. Учтите, что силу трения можно показать, если известно направление движения.

3) Выберите систему координат. Удобно для каждого тела одну из координатных осей направить по направлению ускорения тела.

4) Запишите для каждого тела закон динамики движения – 2-й закон Ньютона, в следующем виде:

.

5) Запишите этот закон в проекциях на координатные оси и выразите определяемую величину.

6) По полученной расчетной формуле произведите вычисления.

2. Вращательное движение тел.

1) Запишите закон динамика вращательного движения тела относительно неподвижной оси вращения.

2) Покажите на рисунке плечо силы и расстояния масс от оси вращения, необходимые для расчета момента инерции тела. Запишите определительные формулы для момента силы M и момента инерции I; при этом обратите внимание на то, чтобы величины M и I , были записаны относительно одной и той же оси вращения тела.

3) Из закона динамики получите расчетную формулу определяемой величины и произведите вычисления.

Задача 4. Мяч массой упруго ударяется о стену под углом к нормали. Определите величину и направление импульса силы, который действовал на стенку во время удара. Скорость мяча .

Дано Решение

; При упругом ударе величина скорости не изменяется

; ( ) и угол, под которым отскакивает мяч, равен углу

. падения мяча (рис. 4). Мяч в условии задачи можно

принять за материальную точку, пренебрегая его размерами,

а стену рассматривать как абсолютно твердое тело.

При взаимодействии мяча со стеной на мяч действует Земля: силой тяжести, – и стена: силой упругости . Однако проекция силы тяжести на ось равна нулю; поэтому величину силы тяжести мяча можно исключить из дальнейшего рассмотрения. Под действием силы упругости изменяется направление скорости мяча.

Запишем второй закон Ньютона в виде: (1) где – средняя сила, с которой стена действует на мяч; – время взаимодействия мяча со стеной. x Для того, чтобы уравнение (1) переписать в скалярном виде, нужно знать направление силы . Из уравнения (1) следует, что импульс силы удара мяча совпадает по направлению с вектором приращения импульса мяча , т. е.

По правилу вычитания векторов

найдем вектор приращения импульса

мяча , он направлен

перпендикулярно поверхности стены.

Следовательно, и импульс силы ,

действующий на мяч, направлен вдоль

нормали к поверхности стены.

Перепишем уравнение (1) в

проекции на ось x:

.

Так как , то

Рис. 4

(2)

Нас интересует импульс силы, действующий на стену во время удара. Используем третий закон Ньютона: сила , с которой мяч действует на стену, равна по величине и противоположно направлена силе , с которой стена действует на мяч (см. рис. 4):

Отсюда, с учетом формулы (2), получаем .

Вычислим импульс силы:

Задача 5. Маховик в виде диска радиусом и массой был раскручен до частоты вращения , а затем был предоставлен самому себе. Под действием сил трения маховик остановился через . Определите момент сил трения.

Дано Решение

; В соответствии с основным законом динамики

; вращательного движения момент сил трения равен

; скорости изменения момента импульса маховика:

; . (1)

. По условию задачи маховик представляет собой твердый сплошной диск, момент инерции которого

относительно его оси симметрии

(2)

С учетом формулы (2) из закона динамики (1) получаем момент сил трения

, (3)

где – угловое ускорение маховика.

Так как угловое ускорение и момент сил трения в данном случае сонаправлены, то векторное уравнение (3) можно заменить скалярным:

(4)

При равнозамедленном вращении (вектор (рис. 5)) величина углового ускорения определяется выражением

Рис. 5

(5)

Здесь конечная угловая скорость , а начальная . Подставив ускорение в закон динамики (4), получаем величину момента силы

(6)

Проверим расчетную формулу (6) по единицам измерения. Подстановка единиц измерения величин в правую часть этого равенства:

, –

дает единицу определяемой физической величины – момента сил.

Вычисляем момент силы трения по формуле (6):

.

Рис. 6

Задача 6.Блок, имеющий форму диска массой , укреплен на краю горизонтального стола. Гири массой и соединены невесомой нитью, перекинутой через блок (рис. 6). Коэффициент трения гири о поверхность стола Определите ускорение , с которым движутся гири, и силы натяжения нити и по обе стороны блока. Трением при вращении блока можно пренебречь.

Решение

Механическая система состоит из трех тел, взаимодействующих посредством нити. В таких случаях рассматривают отдельно движение каждого тела, мысленно разрывая нить и заменяя действие других тел на данное силой натяжения нити. Силы, действующие на каждое тело, показаны на рис. 7. При этом следует учесть, что для сил взаимодействия двух тел выполняется третий закон Ньютона:

; ; модули сил ; (1)

Дано

; ; ; .

Рис. 7

Запишем законы динамики движения тел системы, учитывая, что гири движутся поступательно, а блок вращается. Для поступательного движения тел используем второй закон Ньютона:

; (2)

. (3)

Уравнение (2) в проекциях на оси x и y имеет следующий вид:

ось x: ; (4)

ось y: . (5)

В уравнении (4) сила трения ; заменяя, согласно уравнению (5), , получаем формулу С учетом этого перепишем уравнение (4) в виде:

. (6)

Уравнение (3) запишем в проекции на ось x, направленную вдоль ускорения второй гири:

. (7)

Закон динамики вращения блока относительно неподвижной оси z имеет следующий вид:

, (8)

где – момент инерции блока (диска) относительно его оси симметрии; – угловое ускорение блока; оно связано с линейным ускорением точек на его периметре формулой , причем, величина равна ускорению нити, не проскальзывающей по блоку, а следовательно, и ускорению гирь; – моменты сил натяжения нити .

Из рисунка (см. рис. 7) видно, что момент силы вращает блок против часовой стрелки, а момент силы препятствует этому вращению, стремясь повернуть блок по часовой стрелке. Соответственно вектор , – они направлены по оси вращения z, перпендикулярной плоскости рисунка. Поэтому модуль равнодействующего момента сил

. (9)

Здесь учтено, что плечо обеих сил натяжения нити равно радиусу диска R.

С использованием формул для уравнение (8) принимает следующий вид:

. (10)

Таким образом, получили систему трех уравнений законов динамики движения тел (6), (7) и (10), позволяющих найти 3 неизвестные величины ( ) в виде:

;

;(11)

;

Заметим, что при сложении уравнений системы (11) неизвестные величины исключаются (сумма этих слагаемых равна нулю) и получаем уравнение с одной неизвестной величиной

.

Выразим определяемую величину ускорения гирь:

.

Вычисляем .

Силу натяжения нити выразим из закона динамики (7):

,

а силу натяжения нити – из закона динамики вращения блока (третье уравнение в системе уравнений (11)):

.

Вычисляем силы натяжения:

; .

Задача 7. На обод маховика радиусом намотан нерастяжимый шнур, к концу которого привязан груз массой кг. Определите момент инерции маховика, если он, вращаясь равноускоренно под действием силы тяжести груза, за время приобрел угловую скорость .

ДаноРешение Рис. 8     x m ; 2 кг; 3 с; ; • .

Составим систему уравнений движения двух связанных шнуром тел (рис. 8), одно из которых: груз, – совершает поступательное движение, а другое: маховик, – вращательное.

Запишем закон динамики движения груза – второй закон Ньютона: .

В проекции на ось

. (1)

Основной закон динамики вращательного движения маховика

.

Так как векторы и сонаправлены, то в скалярном виде

(2)

Из закона динамики (2) выразим определяемую величину момента инерции маховика:

. (3)

Угловое ускорение для равноускоренного движения маховика

. (4)

Момент силы натяжения шнура

.

Так как угол между радиус-вектором , проведенным от оси вращения в точку приложения силы натяжения шнура, и силой натяжения равен 90⁰ (см. рис. 8), а численное значение радиус-вектора равно радиусу маховика R, то для момента силы натяжения получаем следующее выражение:

Силу натяжения шнура найдем, используя закон движения груза (1). По третьему закону Ньютона для взаимодействия груза и маховика посредством шнура силы натяжения численно равны: Тогда формула для момента силы, вращающей маховик, принимает вид:

(5)

Значение находим из уравнения движения груза (1):

(6)

Здесь ускорение груза a равно ускорению любой точки нерастяжимого шнура, в том числе и точки, находящейся на ободе маховика, для которой запишем связь линейного и углового ускорения в виде:

(7)

С учетом выражений (6) и (7) формула (5) для момента силы принимает следующий вид:

(8)

Подставим выражение (8) в формулу (3) для расчета момента инерции и заменим угловое ускорение по формуле (4). Так получаем расчетную формулу для определения момента инерции маховика динамическим методом:

, или .

Проверим полученную формулу по единицам измерения величин:

.

Получили единицу измерения момента инерции I, следовательно, расчетная формула верна. Вычисляем по ней момент инерции маховика

.

Задача 8. Какой кинетической энергией обладает велосипедист с велосипедом при скорости движения ? Масса велосипедиста вместе с велосипедом , в том числе масса каждого колеса велосипеда ; массу колеса считать распределенной по ободу.

Дано ; ; .

Решение Кинетическая энергия велосипедиста вместе с велосипедом складывается из двух слагаемых: энергии их поступательного движения и энергии вращательного движения колес. Колеса участвуют одновременно в этих двух видах движения. Кинетическая энергия поступательного движения

равна Кинетическая энергия вращательного движения колеса равна , где I – момент инерции колеса. Он равен , так как массу считаем распределенной по ободу радиусом . С учетом того, что угловая скорость вращения связана с линейной скоростью формулой , кинетическую энергию вращательного движения колеса можно записать через скорость поступательного движения:

.

Тогда полная кинетическая энергия велосипедиста с велосипедом

.

Найдем численное значение кинетической энергии:

.

Законы сохранения

План решения задач с использованием законов сохранения:

ЗСИ, ЗСМИ и ЗСМЭ

Динамические функции механической системы: импульс, момент импульса, механическая энергия, – сохраняются при выполнении определенных условий. Поэтому выбору того или иного закона сохранения, например, при вращательном движении – ЗСМИ или ЗСМЭ, должен предшествовать анализ сил, действующих между телами механической системы.

1. Для сохранения количества движения: импульса или момента импульса, – требуется замкнутая система тел, т. е. отсутствие внешних сил или равенство нулю равнодействующей всех внешних сил. Но в ряде задач, к которым относятся удары шаров, разрыв гранаты, снаряда и др., достаточно, чтобы внутренние силы были большими по сравнению с внешними силами, тогда последними можно пренебречь и считать систему практически замкнутой. Для сохранения момента импульса достаточным является условие равенства нулю момента внешних сил, что обеспечивается, если силы параллельны оси вращения или когда линия их действия проходит через ось вращения.

2. Использование закона сохранения механической энергии возможно, если в рассматриваемой системе тел действуют только консервативные силы – и внутренние, и внешние. При этом силы трения и сопротивления движению и другие неконсервативные силы (работу которых невозможно представить как изменение потенциальной энергии), должны быть пренебрежимо малы по сравнению с консервативными силами. Однако, и при значительной величине силы трения возможно сохранение механической энергии, если работа силы трения равна нулю: для этого достаточно, чтобы не перемещалась точка приложения силы трения (или другой неконсервативной силы).

3. Способ решения задач с использованием того или иного закона сохранения заключается в составлении равенства, где значения сохраняющейся величины: импульса, момента импульса или механической энергии системы тел, – записывают в левой и в правой части, соответственно, в двух состояниях: начальном и конечном. Причем, для векторных величин импульса и момента импульса уравнения законов сохранения – векторные.

4. В связи с тем, что скорости тел: и линейная, и угловая, – величины относительные, то и связанные с ними динамические функции: импульс, момент импульса и кинетическая энергия тел, – также являются относительными величинами, т. е. их значения зависят от выбранной системы отсчета. Поэтому в уравнения законов сохранения следует записывать скорости тел относительно одной и той же системы отсчета: обычно используют условно неподвижную систему отсчета, связанную с Землей.

Задача 9. Молот массой , двигаясь со скоростью , ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием . Считая удар неупругим, определите энергию, расходуемую на ковку (деформацию) изделия. Найдите коэффициент полезного действия процесса ковки в данных условиях.

Дано Решение

Дано Решение

;

;

;

.

Рис. 10

а) Неупругие шары после удара не восстанавливают свою форму (рис. 10). Следовательно, не возникают силы, способные оттолкнуть шары друг от друга. Это приводит к тому, что шары после удара движутся вместе со скоростью . Определим эту скорость, используя закон сохранения импульса. Шары образуют замкнутую систему и поэтому, согласно ЗСИ:

До удара суммарный импульс двух шаров

.

После взаимодействия их суммарный импульс

.

Следовательно, уравнение ЗСИ имеет следующий вид:

, (1)

Запишем проекцию уравнения (1) на ось :

,

выразим скорость шаров после удара и вычислим её:

.

б) Кинетическую энергию шаров до и после удара определим по формулам:

;

.

в) Энергия деформации равна разности кинетических энергий шаров до и после удара:

Можно также вычислить долю энергии, пошедшей на деформацию:

.

Задача 11.Шар массой , движущийся горизонтально со скоростью , столкнулся с неподвижным шаром массой . Шары упругие, удар центральный. Определите: а) скорости шаров после удара, б) долю d кинетической энергии, которую первый шар передал второму.

Дано Решение

; а) Соударяющиеся шары (рис. 11) образуют замкнутую

; консервативную систему. Из этого следует, что при их

; взаимодействии выполняется и закон сохранения импульса

. , (1)

и закон сохранения механической энергии

(2)

до удара

после удара

Рис.11

Для центрального удара можно от векторной записи ЗСИ (1) перейти к записи его в проекции на ось х:

. (3)

Для решения нелинейной системы уравнений (2) и (3) получим линейное уравнение путем деления равенства (2) на (3). Чтобы массы шаров сократились при делении, перенесем в левую часть каждого уравнения слагаемое, содержащее

; (2a)

(3a)

Разделим уравнение (2а) на (3а), при этом получим линейное уравнение

(4)

Далее решаем систему двух линейных уравнений: (3) и (4). Из уравнения (4) выразим скорость и подставим ее в уравнение (3):

; (5)

Из уравнения (4) найдем скорость , используя полученную величину

(6)

Вычисляем скорости шаров после удара по формулам (5) и (6):

.

б) Доля энергии , переданной первым шаром второму, выразится отношением

(7)

где – кинетическая энергия второго шара после удара, – кинетическая энергия первого шара до удара,

Подставляя в соотношение (7) величину по формуле (5), имеем:

(8)

Из полученного выражения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров и не зависит от их скоростей. Вычислим долю переданной энергии по формуле (8):

;

Задача 12. Пуля массой попадает в деревянный брусок массой , подвешенный на нити, и застревает в нем. Определите скорость пули, если брусок вместе с пулей, отклонившись от первоначального положения, поднимается на высоту .

Дано Решение

; Рассмотрим систему пуля – брусок– Земля. Выясним

; характер взаимодействия тел в различных положениях . бруска. Систему отсчета свяжем с Землей. В момент неупругого удара в системе действуют внутренние силы: сила тяжести , сила упругой реакции нити, а также силы неупругой деформации, аналогичные силам трения. Следовательно, в момент удара в системе не выполняется закон сохранения механической энергии. А закон сохранения импульса выполняется, так как система замкнута. После взаимодействия пули с бруском: между положениями 1 и 2 (рис. 10), – действие силы неупругой деформации исчезает, а работу совершает только консервативная сила тяжести; значит, можно использовать закон сохранения механической энергии.

Проведенный анализ позволяет для абсолютно неупругого удара пули и бруска записать закон сохранения импульса в виде:

.

Здесь в левой части записан импульс системы до взаимодействия пули с бруском, равный импульсу пули, а справа – импульс бруска с пулей после их соударения. Запишем ЗСИ в проекции на ось : и выразим скорость бруска с пулей: (1)

Рис. 12 E FAAGAAgAAAAhADMvBZ5BAAAAOQAAABUAAABkcnMvZ3JvdXBzaGFwZXhtbC54bWyysa/IzVEoSy0q zszPs1Uy1DNQUkjNS85PycxLt1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBL AwQUAAYACAAAACEAi4XlrcUAAADbAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbESPT2vCQBTE74V+h+UV vNVNFIuk2YiIFQ9SqArS2yP78odk34bsNonf3i0Uehxm5jdMuplMKwbqXW1ZQTyPQBDnVtdcKrhe Pl7XIJxH1thaJgV3crDJnp9STLQd+YuGsy9FgLBLUEHlfZdI6fKKDLq57YiDV9jeoA+yL6XucQxw 08pFFL1JgzWHhQo72lWUN+cfo+Aw4rhdxvvh1BS7+/dl9Xk7xaTU7GXavoPwNPn/8F/7qBWslvD7 JfwAmT0AAAD//wMAUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAKL4T1MEAQAA7AEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA AFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAbAbV/tgAAACZAQAACwAAAAAAAAAA AAAAAAA1AQAAX3JlbHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAMy8FnkEAAAA5AAAAFQAAAAAAAAAA AAAAAAA2AgAAZHJzL2dyb3Vwc2hhcGV4bWwueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAIuF5a3FAAAA2wAA AA8AAAAAAAAAAAAAAAAAqgIAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPoAAACcAwAAAAA= ">

Следовательно, брусок с пулей в положении 1 после неупругого удара обладает кинетической энергией

.

Потенциальная энергия бруска в этом положении , так как приняли За счет кинетической энергии брусок отклонится от положения равновесия и поднимется на высоту h, в положение 2. В этом положении скорость бруска и его кинетическая энергия равна нулю:

При переходе системы пуля – брусок – Земля из положения 1 в 2, для системы выполняется закон сохранения механической энергии:

, (2)

где – к

<6789101112>

---

Дата добавления: 2016-10-07; просмотров: 3630;

---