Магнитный поток. Работа по перемещению проводника с током

; ; . ; 2)

Виток с током, который свободно установился в магнитном поле, находится в состоянии устойчивого равновесия. При этом механический момент , поэтому магнитный момент контура , чтобы . Магнитный момент сонаправлен с нормалью к плоскости контура, следовательно, нормаль (рис. 77 а).

В этом начальном положении магнитный поток через площадь, ограниченную контуром, максимален и равен

, (1)

так как и проекция вектора магнитной индукции .

1) При повороте плоскости контура на угол и нормаль к этой плоскости повернется на угол (рис. 77 б). Магнитный поток при этом уменьшится и в новом положении контура станет равным

(2)

Работу, совершаемую при повороте контура, определим по формуле:

( (3)

где – ток в контуре; – магнитные потоки сквозь поверхность, ограниченную контуром, соответственно, в конечном (индекс 2) и в начальном (индекс 1) положениях контура. Подставляя значения по формулам (1) и (2), в которых площадь кругового контура , получаем следующую расчетную формулу для величины работы:

(4)

Вычисляем величину работы, которая совершается при повороте контура:

.

2) После удаления контура с током в область, где индукция магнитного поля , магнитный поток станет нулевым. Соответственно, работа, определяемая также формулой (3), запишется в следующем виде:

Вычислим эту работу, совершаемую при удалении контура с током в область, где магнитное поле отсутствует:

.

Работа, совершаемая при перемещении контура, в обоих случаях отрицательная. Это означает, что работу совершает внешняя сила , направленная противоположно силе Ампера (в случае ); а в первом случае – при повороте контура, работу совершает момент внешней силы , который создается магнитными силами.

Задача 46.В одной плоскости с длинным прямым проводником с током расположена квадратная рамка со стороной так, что расстояние от провода до ближайшей стороны рамки (рис. 78). В рамке течет ток . Определите работу, которую нужно совершить для медленного поворота рамки относительно оси на угол .

Дано Решение

; ; ; ; .

Рис. 78

При медленном повороте рамки скорость изменения магнитного потока мала, поэтому величиной ЭДС индукции и возникающим в рамке индукционным током можно пренебречь и считать постоянной величину тока в рамке: . В таком случае работа при повороте контура описывается формулой

, (1)

где – магнитный поток через площадь, ограниченную рамкой, в конечном и начальном положениях рамки.

Магнитный поток через площадь рамки создается магнитным полем длинного проводника с током . Магнитная индукция этого поля в точках на расстоянии от провода определяется следующей формулой:

(2)

По этой формуле видно, что величина уменьшатся по мере увеличения расстояния от провода, следовательно, магнитное поле, в котором находится рамка, является неоднородным. Линии магнитной индукции – окружности, охватывающие длинный проводник, они перпендикулярны плоскости рамки и вектор направлен «от нас». Нормаль к плоскости рамки, как принято, связана правилом буравчика с током в рамке и также направлена «от нас» (см. рис. 78). В этом случае проекция вектора на нормаль положительна и равна модулю вектора :

(3)

Для вычисления магнитного потока в начальном положении рамки отметим, что в неоднородном магнитном поле величину находят как сумму элементарных потоков через бесконечно малые площадки :

(4)

Элементарные площадки выберем в форме узких полосок ширины и площадью , параллельных длинному проводнику и находящихся от него на расстоянии, равном (см. рис. 78). В пределах такой полоски величину , определяемую формулой (2), можно считать одинаковой. Подставляя значение проекции с учетом формулы (2) в выражение (4), рассчитаем магнитный поток в начальном положении рамки следующим образом:

(5)

Здесь пределы интегрирования по переменной взяты соответственно , чтобы охватить всю площадь рамки, по которой суммируются элементарные магнитные потоки

После поворота плоскости рамки относительно оси на угол рамка вновь будет расположена в плоскости рисунка, но только вектор нормали к плоскости рамки, повернувшись также на угол, равный , будет направлен «к нам», т. е. нормаль . В таком положении рамки проекция вектора на нормаль отрицательна:

(6)

Соответственно, магнитный поток в конечном положении рамки, определяемый интегралами (4)и (5), будет отличаться от величины только знаком:

(7)

С учетом выражений (5) и (7) формула (1) для вычисления работы преобразуется к следующему виду:

(8)

Вычисляем величину работы при повороте рамки по расчетной формуле (8), принимая для воздуха магнитную проницаемость :

.

Величина работы отрицательна, так как поворот совершается моментом внешних сил, поворачивающим рамку из положения устойчивого равновесия: в начальном положении рамки ее магнитный момент .