Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле
План решения задач
1. При расчете силы Ампера, действующей на проводник с током в магнитном поле, решение следует начать с рисунка, на котором нужно отразить форму проводника и направление вектора магнитной индукции поля, в котором находится проводник.
2. Необходимо иметь в виду, что формула силы Ампера справедлива только для прямого проводника с током длиной , который находится в однородном магнитном поле с индукцией . В случае неоднородного МП, а также для проводника криволинейной формы, проводник следует разделить на элементы тока и показать на рисунке векторы сил , действующих на элементы тока. Для этого необходимо выбрать два элемента тока, расположенных симметрично. Направление векторов определяем по правилу векторного произведения или по правилу левой руки: располагаем руку так, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь, четыре пальца направляем вдоль тока , тогда отогнутый большой палец покажет направление силы Сила, действующая на весь проводник, определяется как сумма векторов элементарных сил по всей длине проводника :
.
3. Свободный замкнутый контур с током (рамка или виток) устанавливается в магнитном поле так, чтобы его магнитный момент был сонаправлен с вектором магнитной индукции . При этом механический (вращающий) момент , а силы Ампера , действующие на элементы тока контура, растягивают его. Такое положение ( контура с током в однородном магнитном поле является состоянием устойчивого равновесия контура.
Задача 32. По трем параллельным прямым проводникам, находящимся на одинаковом расстоянии друг от друга (рис. 63 а) текут одинаковые токи В двух проводниках направления токов совпадают. Вычислите для каждого проводника силу, действующую на единицу длины проводника.
Дано Решение
;
;
.
|
а б в Рис. 63 |
Сначала рассмотрим взаимодействие двух проводников – первого и второго (рис. 63 б). На второй проводник с током действует магнитное поле с индукцией , созданное током в первом проводе (соответственно, и на первый проводник действует магнитное поле , созданное вторым проводом). Выберем на втором проводнике элемент тока , проведем линию магнитной индукции (это окружность радиусом ) и по касательной к ней направим вектор . Сила Ампера, действующая на выбранный элемент тока второго проводника со стороны МП первого тока
(1)
Модуль этой силы
, (2)
где угол между векторами и (линия магнитного поля расположена в плоскости, перпендикулярной проводу). Согласно формуле (2), сила, действующая со стороны первого провода на единицу длины второго провода:
(3)
В формуле (3) индукция МП, созданная прямым длинным проводом с током в точках на расстоянии от провода, определяется следующим выражением:
(4)
Направление силы определяем по правилу левой руки, располагая ладонь в плоскости рисунка: элемент тока притягивается к первому проводнику. По третьему закону Ньютона, на элемент тока первого проводника будет действовать сила , т. е. равная по модулю (см. формулу (3)) и противоположно направленная (см. рис. 63 б). Таким образом, параллельные токи одинакового направления притягиваются друг к другу. Изменим мысленно на рис. 63 б направление второго тока на противоположное (как ток ) и правило левой руки покажет, что сила, действующая на элемент тока , направлена вправо, т. е. параллельные токи противоположных направлений взаимно отталкиваются.
На каждый из проводников действуют магнитные поля двух других токов. Величину каждой силы парного взаимодействия -того и -того проводов запишем, подставляя индукцию магнитного поля, определяемую формулой (4) (в данной задаче ), в формулу (3):
. (5)
В соответствии с полученным выражением (5), величина силы парного взаимодействия на единицу длины одинакова для каждого проводника.
Результирующую силу, действующую на каждый проводник, находим с помощью принципа суперпозиции сил:
(6)
Покажем эти силы магнитного взаимодействия токов на рис. 63 в, учитывая, во-первых, взаимное направление токов, и во-вторых, равенство модулей всех сил парного взаимодействия . На рисунке заменим элементарную силу силой, действующей на весь i-тый провод со стороны -того тока, так как эти силы сонаправлены: .
Согласно формулам (6), сложим по два вектора сил, действующих на каждый проводник, геометрически: по правилу параллелограмма (треугольника) (см. рис. 63 в). Так как треугольники, имеющие сторонами векторы сил , равносторонние, то модули этих сил
(7)
Модуль силы найдем по теореме косинусов:
(8)
Силы, действующие на единицу длины провода, с учетом формулы (5), представятся выражениями, соответствующими формулам (7) и (8):
; (9)
(10)
Вычисляем силы: а) на единицу длины первого и второго провода:
.
б) на единицу длины третьего провода:
.
Задача 33. Квадратная проволочная рамка со стороной расположена в одной плоскости с длинным прямым поводом (рис. 64 а). Расстояние от провода до ближайшей стороны рамки . Ток в проводе , в рамке . Определите силы , действующие на каждую сторону рамки, и силу, действующую на всю рамку.
Дано Решение
; ; ;
; 2) |
а б Рис. 64 |
Индукция магнитного поля, создаваемого длинным прямым проводом с током в точке, находящейся на расстоянии от провода, определяется следующей формулой:
. (1)
Величина уменьшается по мере увеличения расстояния , следовательно, это магнитное поле неоднородное. Направление вектора определяем по такому вращению буравчика, чтобы винт перемещался бы вдоль тока . В области, где находится рамка, вектор направлен перпендикулярно плоскости рамки «от нас» (рис. 64 б).
Найдем силу , действующую на сторону , суммируя бесконечно малые силы , действующие на элементы тока :
; (2)
(3)
По правилу левой руки определяем, что все векторы , перпендикулярные вектору магнитной индукции , лежат в плоскости рамки, а в этой плоскости они перпендикулярны стороне . Силы являются сонаправленными, причем, сторона притягивается к проводу, так как ток в ней одинакового направления с током в проводе (см. рис. 64 б). Модуль силы :
(4)
Здесь величина (в соответствии с формулой (1), в которой для стороны ) одинакова во всех точках МП, где находится сторона рамки . Тогда действующая на нее сила
(5)
Аналогичный расчет будет и для силы , действующей на сторону рамки , так как вдоль этой стороны величина также одинакова, но меньше, чем для стороны , так как расстояние от провода больше: . Соответственно и модуль силы :
(6)
Вектор также перпендикулярен стороне рамки ( ), но он направлен от провода с током : токи в проводе и в стороне противоположных направлений, поэтому они отталкиваются (см. рис. 64 б).
Силы , действующие на стороны и рамки с током, также перпендикулярны элементам тока и вектору магнитной индукции , в соответствии с векторным произведением в формуле (2), и направления их определяем также по правилу левой руки (см. рис. 64 б). Стороны рамки и расположены одинаково по отношению к проводу с током , магнитное поле которого действует на ток в рамке. Следовательно, модули этих сил одинаковы: .
Рассчитаем, например, силу , суммируя элементарные силы по длине стороны :
. (7)
Здесь величина не одинакова вдоль стороны , но уменьшается по мере удаления элемента тока от провода, согласно формуле (1). В подинтегральном выражении (7) заменим (см. рис. 64 б), чтобы перейти к одной переменной – расстоянию элемента тока от провода; пределы по этой переменной: , – соответствуют начальному и конечному элементам тока на стороне . Продолжим расчет силы
(8)
Вычислим модули сил, действующих на стороны рамки, по формулам (5), (6) и (8):
.
.
.
Найдем результирующую силу, действующую на рамку в целом, складывая векторы сил, действующих на стороны рамки:
(9)
Здесь , так как и вектор (см. рис. 64 б). Так как сила , то модуль результирующей силы
Направление вектора результирующей силы совпадает с направлением большего из векторов сил – с вектором .
Таким образом, в неоднородном магнитном поле на данную рамку с током действует сила в направлении градиента индукции МП: , который направлен в область более сильного МП. Силы растягивают рамку с током, что соответствует данному случаю , где – магнитный момент рамки с током.
Задача 34.На оси контура с током, магнитный момент которого , находится другой такой же контур. Магнитный момент второго контура перпендикулярен оси первого контура. Расстояние межу контурами , причем, размеры контуров малы по сравнению с расстоянием Определите механический момент , действующий на второй контур.
; ; . |
Рис. 65 |
Магнитный момент контура с током – это вектор , направленный по нормали к плоскости контура так, что направление вектора связано с направлением тока в контуре правилом буравчика (правого винта). Первый контур с током создает магнитное поле с индукцией . Величина в точках на оси кругового контура рассчитана в решении задачи 27:
, (1)
где – расстояние от точек контура до точки в МП, в которой определяется величина . Так как по условию задачи расстояние велико по сравнению с радиусом контура, то величина .
На второй контур с током в магнитном поле с индукцией действует механический (вращающий) момент , величина которого определяется следующей формулой:
. (2)
Так как размеры второго контура тоже малы, то величина несущественно изменяется вдоль плоскости второго контура. Поэтому примем ее равной , определяемой формулой (1), в которой . Согласно векторному произведению в формуле (2), вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , т. е. он перпендикулярен плоскости рисунка (см. рис. 65). Этот механический момент будет стремиться повернуть второй контур до положения, в котором вектор (при этом величина обратится в нуль).
Модуль вращающего момента, согласно формуле (2),
, (3)
где – угол между векторами магнитного момента контура и индукцией магнитного поля . По условию задачи вектор , а последний создает магнитное поле , следовательно, вектор (см. рис. 65) и .
Подставляя величину магнитной индукции по формуле (1) в выражение (3), получаем следующую расчетную формулу:
. (4)
Вычисляем по формуле (4) механический момент, действующий на второй контур с током в магнитном поле, созданном первым контуром с током:
.
Задача 35.Два прямолинейных длинных параллельных проводника находятся на расстоянии друг от друга. По проводникам в одном направлении текут токи и . Какую работу (на единицу длины проводника) нужно совершить, чтобы раздвинуть эти проводники до расстояния ?
Дано Решение
; ; ; . |
|
Параллельные токи одинакового направления притягиваются друг к другу, т. е. второй проводник с током притягивается к первому силой Ампера . Чтобы его отодвинуть от первого проводника, нужно приложить внешнюю силу , незначительно превышающую силу притяжения проводников: . Работа этой внешней силы
(1)
Найдем силу Ампера – силу магнитного взаимодействия проводников с током, как силу, с которой магнитное поле первого проводника действует на ток во втором проводнике:
(2)
В уравнении (2) суммируются элементарные силы , действующие на элементы тока , расположенные по всей длине второго проводника с током. Направление сил определяем по правилу левой руки, размещая ладонь в плоскости рисунка (рис. 66), так как вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости рисунка (он направлен «к нам»). Силы , действующие на элементы тока , сонаправлены, поэтому можем складывать их модули:
(3)
Здесь , так как вектор ; – магнитная индукция поля, созданного прямым током , она определяется формулой
, (4)
где – расстояние от проводника с током до точки, в которой определяется индукция магнитного поля.
Подставим величину в подинтегральное выражение (3) и выполним интегрирование, отметив, что расстояние всех элементов тока второго проводника от первого одинаково, так как проводники параллельные:
(5)
Сила Ампера, действующая на единицу длины проводника, в соответствии с формулой (5), представится следующим выражением:
(6)
Согласно полученной формуле, эта сила уменьшается с увеличением расстояния между проводниками, т. е. имеем дело с работой переменной силы, которая определяется, как сумма элементарных работ, интегралом (1). Работу на единицу длины проводника найдем, подставляя силу по формуле (6) в подинтегральное выражение (1):
(7)
Вычислим работу, которую совершает внешняя сила при удалении от первого проводника с током второго проводника с током на единицу его длины, принимая, что магнитная проницаемость воздуха :
.
Задача 36.Тонкий проводник в виде полукольца радиусом находится в однородном магнитном поле с индукцией . Плоскость полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции, а подводящие провода расположены вдоль линий . По проводнику протекает ток . Определите силу , действующую на проводник.
; ; . |
Рис. 67 |
Выделим на полукольце элемент тока и определим направление действующей на него силы Ампера
(1)
Для этого используем правило левой руки, располагая ладонь в плоскости рисунка (рис. 67). Так как элементы тока кольцевого проводника имеют различную ориентацию, то векторы , перпендикулярные элементам тока , образуют «веер векторов» в плоскости полукольца. Для сложения таких векторов каждый элементарный вектор силы разложим на составляющие по осям :
(2)
Силу, действующую на весь проводник длины , находим, суммируя по всей длине полукольца векторы сил, действующих на элементы тока:
(3)
Покажем на рисунке вектор , действующий на элемент тока , расположенный симметрично элементу тока . По рисунку видно, что вектор , следовательно, они попарно компенсируются при суммировании и в результате этого Составляющие силы Ампера , действующие на все элементы тока, сонаправлены, поэтому векторное равенство (3) заменяем скалярным:
(4)
Здесь проекция силы (см. треугольник на рис. 67). Элементарная сила Ампера
, (5)
где – угол между векторами элемента тока и магнитной индукции ; по условию задачи , поэтому
Подставляя величину проекции силы в уравнение (4), перепишем его в следующем виде:
(6)
В подинтегральном выражении содержатся две переменные – элемент длины проводника и угол . Связь этих переменных находим из малого треугольника с гипотенузой (см. рис. 67): . Перейдем к переменной и запишем для нее пределы интегрирования. При сложении сил от всех элементов тока полукольца переменная изменяется от нуля (т. на рис. 67) до (т. на рис. 67), где – радиус полукольца. Тогда интеграл (6) принимает следующий вид:
(7)
Вычислим модуль силы Ампера, действующей в магнитном поле на полукольцо с током:
Вектор , а величина , следовательно, сила Ампера направлена вдоль оси (см. рис. 67).
Задача 37.Тонкий проводник в виде полукольца радиусом находится в однородном магнитном поле с индукцией . Вектор лежит в плоскости полукольца и перпендикулярен его диаметру (рис. 68). По проводнику течет ток . Определите силу , действующую на полукольцо.
|
Рис. 68 |
Сделаем чертеж (см. рис. 68), на котором покажем элемент тока , лежащий в плоскости рисунка. Сила Ампера, действующая на данный элемент тока, определяется по закону Ампера:
(1)
Силу, действующую на все элементы тока полукольца, найдем, суммируя элементарные силы:
. (2)
Согласно векторному произведению (1), сила перпендикулярна элементу тока и магнитной индукции . Так как оба вектора лежат в плоскости рисунка, то вектор силы перпендикулярен плоскости рисунка и направлен «к нам». Для всех элементов тока векторы сонаправлены, следовательно, и вектор силы , действующей на полукольцо, также направлен перпендикулярно плоскости рисунка.
Модуль этого вектора находим, используя формулы (1) и (2):
Дата добавления: 2016-10-07; просмотров: 11718;