Магнитное поле постоянного тока. План решения задач

Магнитное поле постоянного тока. План решения задач

1. В тех задачах, где магнитное поле создается током, текущим в проводнике сложной формы, проводник мысленно разбивают на отрезки (прямые или участки кругового контура), для которых известны расчетные формулы магнитной индукции. Затем записывают принцип суперпозиции магнитных полей в виде:

, (1)

где – индукция магнитного поля отдельных i-тых отрезков проводника. По формуле (1) определяют также результирующее поле, созданное двумя и более длинными прямыми проводами или витками с током.

2. Для расчета магнитной индукции кругового токав его центре или в точке на оси витка принцип суперпозиции записывают в следующем виде:

. (2)

Здесь интегрирование выполняют по всей длине проводника с током. Вектор определяют по закону Био – Савара – Лапласа. При сложении бесконечно малых векторов возможны два варианта: 1) векторы сонаправлены, т. е. направлены по одной прямой; в этом случае модуль (суммируют модули ); 2) если векторы не сонаправлены, то каждый из них необходимо разложить на два взаимно перпендикулярных вектора:

, (3)

где – вектор, параллельный оси витка с током; – составляющая вектора , перпендикулярная оси витка.

3. В уравнениях (1) и (2) принципа суперпозиции записана суммавекторов. Для сложения векторов необходимо определить их направления и показать векторы на рисунке. Так как линии магнитного поля токов представляют собой окружности, замкнутые вокруг токов и даже вокруг бесконечно малых элементов тока , то используем правило буравчика, располагая винт вдоль тока. Если проводник с током размещен в плоскости рисунка, то в точках, находящихся в этой плоскости, вектор будет направлен перпендикулярно плоскости рисунка. Такой вектор обозначают значком , если вектор направлен «от нас», или значком €, если вектор направлен «к нам».

Задача 27. По тонкому кольцу радиусом течет ток . Определите магнитную индукцию в точке на оси кольца, равноудаленной от точек кольца на расстояние .

Дано Решение

; ; .

,

Рис. 58

Мысленно разделим кольцо с током на элементы тока , каждый из которых создает в точке магнитное поле с индукцией , и сложим эти поля от элементов тока, согласно принципу суперпозиции:

. (1)

Здесь интегрирование выполняют по всей длине кольца , а вектор определяется законом Био – Савара – Лапласа:

(2)

Из уравнения (2), в соответствии с векторным произведением векторов, следует, что вектор перпендикулярен векторам и . На рис. 58 плоскость кольца и элемент тока перпендикулярны плоскости рисунка. Следовательно, вектор будет расположен в плоскости рисунка, где его проводим перпендикулярно радиус-вектору , проведенному от элемента тока к точке . Выделим другой элемент тока , диаметрально противоположный элементу , и покажем создаваемый им вектор магнитной индукции на рис. 58. Нетрудно заметить, что векторы от всех элементов тока кольца образуют конус векторов.

Для сложения векторов , направленных по образующим конуса, разложим каждый вектор на две составляющие:

(3)

где – вектор, параллельный оси кольца ОА; – составляющая вектора , перпендикулярная оси кольца. После подстановки разложения (3) в уравнение (1) принципа суперпозиции интеграл в правой части представится суммой двух интегралов:

(4)

Второй интеграл: , так как сумма векторов и таким образом все векторы попарно компенсируются. Тогда в уравнении (4) остается один интеграл:

, (5)

где все векторы сонаправлены, следовательно, в точке вектор магнитной индукции (см. рис. 58), и его модуль

, (6)

Здесь составляющая , где (см. треугольники на рис. 58). Модуль находим с помощью закона Био – Савара – Лапласа (2): так как вектор , то и величина магнитной индукции

(7)

Подставим величину в интеграл (6) и вычислим его:

(8)

Учтем, что – магнитный момент контура с током, и формулу (8) представим в виде

(9)

Вычисляем магнитную индукцию поля в точке по формуле (8), полагая, что для воздуха магнитная проницаемость , а магнитная постоянная .

.

Задача 28.По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводам текут токи одного направления. Расстояние между проводами . Для линии , перпендикулярной проводам, определите, на каком участке: 1, 2 или 3 (рис. 59 а), – находится точка, в которой индукция магнитного поля На каком расстоянии от первого провода находится эта точка?

Дано Решение

; ; 1) на каком участке? 2)

Линия  

Линия  

а б

Рис. 59

Индукция магнитного поля в любой точке прямой определяется по принципу суперпозиции:

, (1)

где – магнитная индукция поля, созданного первым проводом с током ; – та же величина, созданная вторым проводом с током

Так как в уравнении (1) записана геометрическая сумма векторов и , то определим их направления. Эти векторы направлены по касательным к линиям магнитной индукции, которые имеют форму окружностей с центрами на соответствующем проводе. Направление линий определяем по вращению головки буравчика (правого винта), который должен перемещаться по направлению тока. На рис. 59 б токи текут «от нас», поэтому буравчик следует вращать по часовой стрелке, чтобы винт вворачивался.

В каждой области (1, 2 и 3) показываем направление векторов и , касательных к соответствующим окружностям. На участках 1 и 3 вектор , и сумма таких векторов отлична от нуля. На втором участке линии , который находится между проводами, вектор (см. рис. 59 б). Принимая за положительное направление вектора , запишем для этого участка принцип суперпозиции (1) в следующем виде:

(2)

Здесь модули магнитной индукции длинных прямых проводов определяем по формулам

(3)

Подставляем эти значения в уравнение (2) и, согласно условию задачи, приравниваем нулю индукцию результирующего магнитного поля:

(4)

Учитывая, что , из соотношения (4) определяем величину :

.

Таким образом, точка , в которой модули векторов одинаковы: ,–а их сумма равна нулю, находится на отрезке прямой между проводами, ближе к первому проводу, – с меньшим током, так как величина .

Задача 29.По двум бесконечно длинным прямым проводам, скрещенным под прямым углом, текут токи , где Определите магнитную индукцию в точке (рис. 60 а), если расстояние

Дано Решение

; ; ;

а б в

Рис. 60

Магнитное поле, созданное двумя проводами с током, в любой точке пространства определяется по принципу суперпозиции как геометрическая сумма векторов:

, (1)

где и – величины индукции магнитного поля, созданного первым проводом с током и вторым – с током .

Векторы и направляем по касательным к линиям магнитной индукции. Эти линии – окружности с центрами на проводах с током, а направление линий (рис. 60 б) определяем по правилу буравчика (см. п. 7.1) Так как векторы и взаимно перпендикулярны (рис. 60 в), то модуль магнитной индукции результирующего поля определяем с помощью теоремы Пифагора:

(2)

Модуль магнитной индукции поля, созданного длинным прямым проводником с током , рассчитывается по следующей формуле:

, (3)

где – магнитная постоянная, – магнитная проницаемость среды, для воздуха ; – расстояние от провода до точки , в которой определяем магнитную индукцию. Для первого и второго провода соответственно по формуле (3) запишем

(4)

Подставляя эти величины в выражение (2), получаем расчетную формулу для индукции магнитного поля в точке :

(5)

Вычисляем значение магнитной индукции поля в точке :

.

Задача 30.По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам текут токи и . Определите магнитную индукцию поля в точке (рис. 61 а), равноудаленной от проводов на расстояние ; угол .

Дано Решение

; ; ; .

а б

Рис. 61

Так как магнитное поле создается двумя проводниками с током, то магнитную индукцию поля в точке определяем по принципу суперпозиции:

, (1)

где – индукция МП, созданная в точке первым проводником с током ; – та же величина, созданная вторым проводником с током

Для сложения векторов и необходимо показать их на рисунке. Эти векторы идут по касательным к линиям магнитной индукции, которые представляют собой окружности радиусом , охватывающие первый и второй проводники. Касательные проводим перпендикулярно радиусу соответствующей окружности (рис. 61 б).

Результирующий вектор , согласно принципу суперпозиции (1), находим по правилу параллелограмма (треугольника). Модуль его определяем по теореме косинусов:

(2)

где угол (так как ( , (см. рис. 61 б)). Модули магнитной индукции поля, созданного первым и вторым проводниками, определяются формулами:

(3)

Здесь магнитная проницаемость воздуха

Подставляем эти величины в уравнение (2) и получаем расчетную формулу индукции МП в точке в следующем виде:

; так как .

Вычисляем величину магнитной индукции поля в точке :

.

Задача 31. По бесконечно длинному проводнику, изогнутому так, как показано на рис. 62 а, течет ток . Радиус дуги . Определите магнитную индукцию в точке .

Дано Решение

;

а б

Рис. 62

Провод заданной формы разделим на три участка (рис. 62 б): длинные прямые проводники 1 и 3 и дуга 2, равная половине окружности. Индукцию , созданного проводником, состоящим из таких участков, найдем по принципу суперпозиции:

(1)

Вычислим вектор от первого участка проводника, суммируя бесконечно малые значения , создаваемые элементами тока :

, (2)

где вектор определяем по закону Био – Савара – Лапласа:

. (3)

В формуле закона (3) элемент длины первого участка провода и радиус-вектор , проведенный от элемента тока к точке , сонаправлены, т. е. , а в этом случае векторное произведение (так как ). Следовательно, каждый и их сумма Отметим полученный результат: в любой точке, находящейся на продолжении прямого провода с током, индукция МП, созданная этим проводом, равна нулю.

Вычислим вектор , аналогично предыдущему расчету, суммируя бесконечно малые значения , создаваемые элементами тока :

. (4)

Для определения направления складываемых векторов применяем правило буравчика: вращая головку винта по направлению тока в полукольце, по движению винта (который будет ввинчиваться) получаем, что вектор от любого элемента тока дуги направлен перпендикулярно плоскости рисунка «от нас». Следовательно, и вектор имеет такое же направление. Так как все векторы сонаправлены, то суммируем их модули:

(5)

Отметим, что найденная величина (см. п. 7.1, формула (6)). Этот результат имеет простое объяснение: отсутствующая половина кольца создавала бы такое же поле , а согласно принципу суперпозиции . Следовательно, расчет выполнен верно.

Определяем вектор : его направление находим по правилу буравчика, вращая головку винта по часовой стрелке (если смотреть на начало третьего участка сверху), чтобы винт вворачивался по направлению тока (вниз). Тогда вектор , касательный к окружности, которую описывает головка винта, будет направлен перпендикулярно плоскости рисунка «от нас». Таким образом, вектор ; складывая эти векторы, по принципу суперпозиции (1) получаем, что результирующий вектор сонаправлен с векторами , т. е. также направлен перпендикулярно плоскости рисунка «от нас». Модуль вектора , в соответствии с уравнением (1), равен сумме модулей сонаправленных векторов:

(6)

Найдем модуль вектора . Заметим, что если мысленно продолжить участок провода 3 вверх до бесконечности, т. е. дополнить его проводом, равным участку 3, то получим бесконечно длинный прямой провод, создающий поле с магнитной индукцией

. (7)

С учетом равного вклада двух половин провода, следуя принципу суперпозиции, запишем уравнение:

(8)

Заметим, что результат (8) можно получить и из формулы магнитной индукции отрезка прямого проводника с током (п. 7.1, формула (8)):

, (9)

где – расстояние от провода до точки, в которой определяем величину : ; углы , т. е.

Подставляя найденные величины магнитной индукции второго и третьего участков провода (формулы (5) и (8)) в уравнение (6) принципа суперпозиции, получаем расчетную формулу индукции магнитного поля в точке :

(10)

Вычисляем магнитную индукцию поля, созданного в точке заданным проводником с током, по формуле (10), принимая для воздуха магнитную проницаемость

.