Расчет напряженности электростатического поля
С помощью теоремы Гаусса
План решения задач
1) Выясните тип симметрии электростатического поля, который отображает симметрию заряженного тела, создающего поле:
а) сферическая (центральная) симметрия характерна для полей равномерно заряженной сферы (нескольких концентрических сфер), равномерно заряженного по объему шара, металлического шара и т. п.
б) цилиндрическая (осевая) симметрия имеется у полей, созданных равномерно заряженной по длине нитью или цилиндром (несколькими коаксиальными цилиндрами), равномерно заряженным по объему цилиндром и т. п.
в) плоская (зеркальная) симметрия имеется у полей, созданных равномерно заряженной плоскостью, равномерно заряженной по объему пластиной и т. п.
2) Изобразите на рисунке силовые линии поля, ход которых определяется симметрией заряженных тел.
3) Выберите замкнутую вспомогательную поверхность, проходящую через выбранную точку поля (в которой требуется определить напряженность) и удобную для расчета потока вектора напряженности . Для удобной поверхности проекция вектора напряженности на нормаль
к поверхности
, т. е. вектор
в той точке, где определяем величину
. Другие участки вспомогательной поверхности выбирают такими, чтобы
. Заметим, что для определения проекции
принято проводить внешнюю нормаль к поверхности. Таким образом, для правильно выбранной вспомогательной поверхности поток
в левой части теоремы Гаусса записывается в следующем виде:
, (1)
где – напряженность поля на расстоянии
, отсчитанном от центра (оси) симметрии заряда до точки, в которой определяем величину
.
4) Расчет напряженности поля с помощью теоремы Гаусса:
, (2)
выполняйте по областям; их выбирайте так, чтобы в пределах каждой области правая часть уравнения (2) была неизменной. На границе двух соседних областей изменяется величина – сумма зарядов, находящихся внутри выбранной вспомогательной поверхности, при этом функция
изменяется скачком.
Задача 12.На двух концентрических сферах радиусами равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями
и
, где
. 1) Используя теорему Гаусса, найдите зависимость проекции вектора напряженности электростатического поля от расстояния
для трех областей:
(рис. 21). 2) Покажите направление вектора
и вычислите модуль
в точке на расстоянии
от центра сфер. 3) Постройте график зависимости
.
Решение
1) По условию задачи заряды, равномерно распределенные по сферам, находятся на одинаковых расстояниях от центра сфер: и
. Следовательно, центр сфер является центром симметрии системы зарядов, а ЭСП, созданное сферами, обладает центральной (сферической) симметрией. На рис. 22 показано расположение зарядов и силовые линии поля: 1) линии
начинаются а) на положительных зарядах первой сферы, б) либо на бесконечно большом расстоянии от сфер, и 2) силовые линии
Дано Решение
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() Рис. 21 Рис. 22 |
идут к отрицательным зарядам второй сферы по радиальным линиям, так как такое поле является сферически симметричным. Заметим, что поле заряженной сферы на большом расстоянии от нее: , – совпадает с полем точечного заряда, также имеющим центральную симметрию.
Вспомогательные поверхности для расчета потока в теореме Гаусса выбираем также в виде сфер радиусом
, так как на них одинакова величина проекции напряженности
. Единичные нормали
к этим поверхностям идут по радиальным направлениям, поэтому проекции
и
совпадают. Соответственно, поток вектора
через сферическую поверхность радиусом
и площадью
определяется формулой:
(1)
Расчет функции выполняем по следующим областям:
Область :
. В этой области выбираем произвольную точку 1 и проводим через нее сферу радиусом
(см. рис. 22). Внутри данной вспомогательной сферы нет зарядов:
. Следовательно, по теореме Гаусса определяем
(2)
Область :
. В этой области проводим сферу радиусом
через произвольную точку 2. Внутри данной вспомогательной сферы находится заряд
– на поверхности первой заряженной сферы радиусом
. Приравниваем поток, определяемый формулой (1), по теореме Гаусса:
, где
.
Отсюда выражаем зависимость , т. е.
. (3)
Область :
. В этой области вспомогательная сфера радиусом
проходит через точку 3. Внутри данной сферы находятся заряды обеих сфер, следовательно
.
Приравниваем поток, определяемый формулой (1), по теореме Гаусса:
;
. (4)
Таким образом, проекция вектора напряженности , а модуль величины
, т. е. уменьшается с увеличением расстояния
2) Заданная точка для определения напряженности поля находится на расстоянии от центра сфер, следовательно, она лежит в области
, поэтому проекцию напряженности рассчитываем по формуле (4):
(5)
Здесь – электрическая постоянная.
Вычисляем напряженность ЭСП сфер в заданной точке по формуле (5):
.
Проекция напряженности отрицательная, следовательно, вектор
в этой точке противоположен радиальному направлению, т. е. направлен к центру сфер, что соответствует показанному на рис. 22.
![]() |
![]() |

![]() Рис. 23 |
![]() ![]() ![]()
|
Задача 13. На двух коаксиальных бесконечно длинных цилиндрах радиусами равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями
и
, где
. 1) Используя теорему Гаусса, найдите зависимость проекции вектора напряженности ЭСП от расстояния
для трех областей:
(рис. 24). 2) Покажите направление вектора
и вычислите модуль
в точке на расстоянии
от оси цилиндров. 3) Постройте график зависимости
.
Дано Решение
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() Рис. 24 Рис. 25 |
1) По условию задачи заряды, равномерно распределенные по поверхности цилиндров, находятся на одинаковых расстояниях от оси цилиндров: и
. Следовательно, ось цилиндров является осью симметрии данной системы зарядов, а ЭСП, созданное цилиндрами, обладает осевой симметрией. На рис. 25 показаны силовые линии поля. Линии вектора
начинаются на положительных зарядах второго цилиндра и идут к отрицательным зарядам первого цилиндра либо в бесконечность по радиальным линиям, так как такое поле является осесимметричным.
Вспомогательные поверхности для расчета потока в теореме Гаусса выбираем также в виде цилиндров радиусом
, так как на их боковой поверхности одинакова величина проекции
. Единичные нормали
к этим поверхностям идут по радиальным направлениям, поэтому проекции
и
совпадают. Чтобы боковая поверхность была замкнутой «закроем» основания (торцы) цилиндров дисками, плоскость которых ортогональна боковой поверхности цилиндра. В этом случае векторы
будут скользить вдоль плоскости оснований и проекция напряженности на нормаль к основаниям
, следовательно, и поток
Поток вектора
через такой замкнутый цилиндр радиусом
и высотой
определяется следующей формулой:
(1)
Расчет функции выполняем по следующим областям:
Область :
. В этой области выбираем произвольную точку 1 и проводим вспомогательный цилиндр радиусом
такой, чтобы точка 1 лежала на боковой поверхности цилиндра (см. рис. 25). Внутри этого цилиндра нет зарядов:
. Следовательно, по теореме Гаусса получаем
(2)
Область :
. В этой области проводим вспомогательный цилиндр радиусом
, равным расстоянию от оси цилиндра до произвольной точки 2, чтобы эта точка оказалась на боковой поверхности цилиндра. Внутри данного вспомогательного цилиндра на поверхности первого цилиндра радиусом
находится заряд
. Приравниваем поток, определяемый формулой (1), по теореме Гаусса:
, где
.
При этом произвольно выбранный параметр сокращается, и получаем зависимость в виде:
. (3)
Таким образом, проекция вектора
, а модуль
, т. е. уменьшается с увеличением расстояния
Область :
. В этой области боковую поверхность вспомогательного цилиндра проводим через точку 3. Внутри данного цилиндра находятся заряды обоих цилиндров, следовательно,
Приравниваем поток, определяемый формулой (1), по теореме Гаусса:
;
, т. е.
. (4)
2) Заданная в условии задачи точка для определения напряженности поля находится на расстоянии от оси цилиндров, следовательно, она лежит в области
, поэтому проекцию напряженности рассчитываем по формуле (4):
. (5)
Здесь – электрическая постоянная.
Вычисляем значение проекции напряженности ЭСП цилиндров в заданной точке по формуле (5):
.
Проекция напряженности положительная, следовательно, вектор
в этой точке направлен по радиальному направлению от оси цилиндров, что соответствует показанному на рис. 25.
3) Для построения графика зависимости найдем значения проекции вектора напряженности на границах участков:
![]() Рис. 26 |
;
![]() |

.
![]() |



Задача 14. На двух бесконечных параллельных плоскостях равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями и
, где
. 1) Используя теорему Гаусса и принцип суперпозиции электрических полей, найдите зависимость проекции вектора напряженности электростатического поля от координаты
для трех областей:
(рис. 27). 2) Покажите направление вектора
и вычислите модуль
в точке, расположенной справа от плоскостей. 3) Постройте график зависимости
.
Дано Решение
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]()
Рис. 27 Рис. 28 |
ЭСП, созданное двумя заряженными плоскостями, не обладает симметрией, в отличие от поля одной заряженной плоскости, которое имеет зеркальную симметрию. Поэтому с помощью теоремы Гаусса найдем напряженность поля, создаваемого одной заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда . Силовые линии этого поля перпендикулярны плоскости и направлены от плоскости в обе стороны (рис. 28) – такое поле симметрично относительно «плоскости-зеркала».
1) Для расчета напряженности выберем точки 1 и
справа и слева от плоскости на одинаковом расстоянии от нее; в силу симметрии поля в этих точках одинаков модуль векторов:
. В качестве замкнутой поверхности выберем цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости. При этом нормали к основаниям
(см. рис. 28), следовательно, проекции
и слева, и справа от плоскости. Поток вектора
через боковую поверхность цилиндра равен нулю:
, так как
и поэтому
, поскольку линии напряженности не пересекают боковую поверхность. Заметим, что в качестве вспомогательной поверхности можно выбрать и прямую призму или параллелепипед, основания которых проходили бы через точки 1 и
.
Вычислим поток вектора через такой замкнутый цилиндр:
(1)
Заряд, находящийся внутри этой замкнутой поверхности, размещен на диске площадью (см. рис. 28) и равен
. Приравняем поток, определяемый формулой (1), по теореме Гаусса:
.
Из этого уравнения получаем зависимость
(2)
Из формулы (2) следует, что напряженность электростатического поля заряженной плоскости не зависит от расположения точки поля относительно плоскости и одинакова во всех точках поля – такое поле называется однородным. Это справедливо, пока плоскость можно считать бесконечно большой, т. е. на расстояниях от заряженной плоскости, достаточно малых по сравнению с ее размерами.
Для электростатического поля двух плоскостей, заданного в условии задачи, найдем напряженность, используя принцип суперпозиции полей:
, (3)
где – векторы напряженности полей первой и второй плоскости, причем модули этих векторов определяются формулой (2):
;
.
Но сложение векторов в уравнении (3) необходимо выполнять с учетом их направлений, которые определяем, как обычно, помещая в выбранную точку поля пробный положительный заряд . Отрицательные заряды первой плоскости будут притягивать к себе пробный заряд силой
, а положительные заряды второй плоскости будут отталкивать от себя заряд
силой
. По направлениям этих сил направлены линии напряженности ЭСП:
и
. В каждой области пространства покажем по одной линии напряженности поля заряженных пластин: линию
и линию
(рис. 29).
![]()
Рис. 29 |
Запишем проекцию вектора напряженности поля плоскостей, проецируя уравнение (3) принципа суперпозиции на ось
:
(4)
Найдем проекцию в каждой области:
Область (слева от плоскостей):
(5)
Область (между плоскостями):
(6)
Область (справа от плоскостей):
. (7)
Заметим, что для определения проекции напряженности в уравнения (5), (6) и (7) следует подставлять модули величин
, так как их знак учтен знаком проекций
, которые соответствуют указанным направлениям векторов
для каждой плоскости.
2) Рассчитаем проекцию вектора напряженности ЭСП в области – справа от плоскостей, по уравнению (7):
. (8)
Проекция отрицательна, следовательно, вектор
направлен противоположно положительному направлению оси
.
Вычисляем модуль вектора :
3) Чтобы построить график зависимости проекции вектора напряженности от координаты
, найдем значения проекций в каждой области пространства по уравнениям (5), (6) и (7):
![]() Рис. 30 |
;
;
;
;
;
.
![]() |



Дата добавления: 2016-10-07; просмотров: 4573;