Активность радиоактивного вещества

Активность радиоактивного вещества (нуклида) – это скорость его распада, т. е. число распадов за время 1 с:

. (17)

В СИ единица измерения активности – беккерель (Бк): . Кроме того, в ядерной физике используется внесистемная единица активности – кюри (Ки): .

С учетом закона радиоактивного распада (12) формулу (17) для величины активности можно записать в следующем виде:

. (18)

Таким образом, активность радиоактивного вещества в данный момент времени пропорциональна числу ядер , не распавшихся к этому моменту времени.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

План решения задач по теме «Атомное ядро, энергия связи, энергия ядерной реакции»

1. Обратите внимание на единицу энергии, которая используется для энергии связи ядра в ядерной физике: 1 МэВ, – соответственно, единица удельной энергии связи .

2. Чтобы получить энергию связи в мегаэлектрон-вольтах (при вычислении по формуле ), массы атомов из справочной таблицы берут в атомных единицах массы (а.е.м.). Учитывая, что , получим:

.

Так как , то

.

Последняя формула является наиболее удобной для вычисления энергии связи ядра и энергии ядерной реакции в единицах ; при этом дефект массы выражают в

3. Отметим, что при вычислении дефекта массы ядра , а также разности масс при расчете энергии ядерной реакции по формуле (10), следует брать массы атомов с указанием всех значащих цифр, приведенных в справочной таблице. Но полученные значения и теплового эффекта ядерной реакции следует округлять, как обычно, до 3-х значащих цифр (так как с такой точностью найдено число в расчетной формуле).

4. При вычислении энергии ядерной реакции по формуле (10):

;

знак величины определяется знаком разности масс : если , т. е. , то энергия выделяется и величина ; если , то энергия ядерной реакции отрицательна – энергия поглощается в ходе реакции.

Задача 40. Вычислите энергию связи ядер атомов гелия и алюминия и их удельную энергию связи . Определите, какое ядро прочнее.

Дано ; ; ; . Какое ядро прочнее?

Решение Определяем энергию связи ядра по формуле , (1) где дефект массы при образовании ядра . (2) Здесь – масса атома водорода; – масса атома; – масса нейтрона; – порядковый номер элемента в таблице Д.И. Менделеева; – массовое число.

1) Вычисляем для ядра атома гелия : .

Дефект массы – по формуле (2):

Энергия связи ядра гелия – по формуле (1):

.

Удельная энергия связи

.

2) Аналогично вычисляем для ядра алюминия : .

Дефект массы – по формуле (2):

Энергия связи ядра гелия – по формуле (1):

.

Удельная энергия связи

.

Определим, какое из этих двух ядер прочнее. Чтобы «развалить» ядро, достаточно отделить от него лишь один нуклон, – при этом образуется ядро другого атома, с массовым числом ( ). Меньшая энергия для этого процесса потребуется ядру атома гелия, так как его удельная энергия связи

Задача 41. Определите энергию , которая выделяется при реакции

.

Дано ; ; ; .

Решение Определяем энергию ядерной реакции по формуле , (1) где – разность масс исходных ядер и ядер продуктов реакции: . (2)

Разность масс ядер в уравнении (2) равна разности масс соответствующих атомов , так как, согласно закону сохранения электрического заряда: , – сумма зарядовых чисел исходных ядер и продуктов реакции одинакова. Для данной в задаче реакции уравнение (2) запишем в следующем виде:

. (3)

По этой формуле вычисляем разность масс атомов:

.

Величина , т. е. ; следовательно, и энергия выделяется. Энергию, которая выделяется при протекании реакции, вычисляем по формуле (1):

.

7.2. План решения задач по теме «Радиоактивность»

1. Скорость распада и активность радиоактивного вещества зависят от постоянной распада данного вещества; ее находят, используя табличное значение периода полураспада с помощью формулы

. (1)

2. Активность радиоактивного вещества в данный момент времени зависит также от концентрации нераспавшихся ядер , которуюнаходят с помощью закона радиоактивного распада:

. (2)

3. Если необходимо найти число распавшихся ядер , то используют очевидное равенство для начального количества ядер в образце:

где – число нераспавшихся ядер, оно определяется законом распада (2).

Задача 42. Определите, какая доля радиоактивного изотопа йода
распадается в течение времени .

Дано Йод : ; .

Решение Доля распавшихся ядер – это отношение числа распавшихся ядер к начальному числу ядер : . А закон радиоактивного распада дает число ядер – оставшихся к моменту времени :

. (1)

Так как , то запишем и выразим долю:

. (2)

С учетом закона радиоактивного распада (2) получаем формулу:

. (3)

Здесь постоянная распада и период полураспада радиоактивного вещества связаны следующим соотношением:

. (4)

Подставляя величину по формуле (4) в уравнение (3), получаем расчетную формулу в виде:

.

Вычисляем по полученной формуле долю ядер, распавшихся к моменту времени :

. .

Задача 43. Для образца радиоактивного изотопа иридия , начальная масса которого , определите число ядер , распавшихся в течение времени: 1) ; 2)

Дано ; ; ; .

Решение Найдем начальное число атомов в образце, содержащем число молей : , (1) где – масса и молярная масса иридия ; – число Авогадро (число атомов в одном моле вещества).

Закон радиоактивного распада ядер можно записать в двух формах:

1) В дифференциальной записи – для малого числа ядер , распавшихся за малое (по сравнению с периодом полураспада ) время :

. (2)

Эту формулу закона можно применить для промежутка времени .

2) В интегральной форме – для времени распада, соизмеримого с величиной :

. (3)

Здесь – начальное число ядер (в момент времени ); – число нераспавшихся ядер в момент времени ; – постоянная радиоактивного распада.

Закон распада в форме (3) применим для промежутка времени . Так как число распавшихся ядер , то, с учетом закона (3):

. (4)

В уравнениях (2) и (4) постоянная распада и период полураспада радиоактивного вещества связаны следующим соотношением:

. (5)

С учетом формул (1) и (5) преобразуем уравнения (2) и (4) в следующие расчетные формулы:

. (6)

. (7)

Вычислим начальное число ядер в образце:

.

Вычисляем по формуле (6) число ядер, распавшихся за время :

.

Полученное число , что подтверждает правомерность использования простой приближенной формулы (2) закона радиоактивного распада.

По формуле (7) вычисляем число ядер, распавшихся за время :

Здесь использовали формулу для приближенного вычисления при :

.

Задача 44. Активность образца некоторого изотопа за время уменьшилась на 20%. Определите период полураспада этого изотопа.

Дано ; . ?

Решение В задаче дано относительное уменьшение активности образца: , (1)

где – активность образца в начальный момент времени ; – активность того же образца в момент времени .

Активность радиоактивного вещества пропорциональна числу ядер, которые будут распадаться, т. е. числу нераспавшихся ядер:

. (2)

По закону радиоактивного распада число нераспавшихся ядер

. (3)

Следовательно, формула (2), с учетом закона (3), приводит к зависимости активности образца от времени в виде:

. (4)

Подставляя зависимость (4) в формулу (1), получаем следующую формулу:

Логарифмируя, находим

. (5)

Период полураспада и постоянная распада радиоактивного вещества связаны следующим соотношением:

. (6)

Подставляя в последнюю формулу выражение (5), получаем расчетную формулу в следующем виде:

.

Вычисляем период полураспада радиоактивного вещества:

.

Задача 45. Определите массу образца радиоактивного изотопа актиния , имеющего активность

Дано ;

Решение Активность радиоактивного образца пропорциональна числу нераспавшихся ядер в этом образце: , (1) где – постоянная распада данного вещества.

Постоянная распада и период полураспада радиоактивного вещества связаны следующим соотношением:

. (2)

Из формулы (1) выразим число ядер в образце и учтем выражение (2):

. (3)

Число ядер равно числу атомов изотопа актиния, поэтому можно найти число молей радиоактивного вещества в образце по формуле:

, (4)

где – число Авогадро (число атомов в одном моле вещества). С другой стороны, число молей вещества можно выразить через его массу и молярную массу актиния :

. (5)

Приравнивая величину по формулам (4) и (5) и учитывая равенство (3), получаем расчетную формулу массы образца:

. (6)

Здесь период полураспада следует выразить в секундах, так как единица активности .

Вычисляем массу образца радиоактивного вещества по формуле (6):

.

Задача 46. Счетчик -частиц, установленный вблизи образца радиоактивного изотопа, при первом измерении зарегистрировал – частиц в минуту, а через время – . Определите период полураспада изотопа .

Дано ; ; .

Решение В условии задачи дана скорость распада радиоактивного изотопа в два момента времени: и . Скорость распада дает нам активность изотопа : . (1) Величина пропорциональна числу нераспавшихся ядер в этом образце: . (2)

Число нераспавшихся ядер определяем по закону радиоактивного распада:

. (3)

Заменяя в уравнении (3) (в соответствии с формулами (2)), получаем соотношение активностей радиоактивного образца в виде:

. (4)

Здесь постоянная распада связана с периодом полураспада радиоактивного вещества связаны следующим соотношением:

. (5)

Найдем величину из уравнения (4) путем его логарифмирования:

. (6)

Подставляя найденную величину в формулу (5), получаем расчетную формулу периода полураспада :

. (7)

Вычисляем период полураспада радиоактивного изотопа, заменяя отношение активностей образца (на основании формулы (1)), отношением измеренных счетчиком скоростей -распада ядер радиоактивного изотопа:

.

Задача 47. Определите период полураспада изотопа , если известно, что из миллиона атомов этого радиоактивного изотопа за каждую секунду распадаются ядра атомов: .

Дано ; .

Решение В условии задачи дана скорость распада радиоактивного изотопа, равная активности изотопа : . (1) Величина пропорциональна числу нераспавшихся ядер в этом образце:

. (2)

Приравнивая активности образца в формулах (1) и (2), получаем выражение для определения постоянной радиоактивного распада изотопа:

. (3)

Период полураспада и постоянная распада радиоактивного вещества связаны следующим соотношением:

. (4)

Подставляя в последнее равенство величину по формуле (3), получаем расчетную формулу периода полураспада радиоактивного изотопа:

.

Вычисляем величину периода полураспада:

.