ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. В идеальном колебательном контуре (ИКК) заряд конденсатора емкостью изменяется по закону . Определите циклическую частоту , амплитуду колебаний заряда , максимальный ток в контуре и индуктивность катушки

Дано ИКК: ; ; .

Рис. 5

Решение

Идеальный колебательный контур – это цепь, состоящая из конденсатора и катушки индуктивности с малым сопротивлением ( ) (рис. 5). В такой цепи закон гармонических колебаний заряда на обкладках конденсатора имеет следующий вид:

(1)

Сравним этот закон с заданным уравнением колебаний заряда:

. (2)

Из сопоставления уравнений (1) видим, что собственная частота контура

;

а амплитуда колебаний заряда .

Чтобы найти амплитуду тока , необходимо получить закон колебаний тока в контуре. Для этого воспользуемся тем, что переменный ток, по определению:

.

В соответствии с этим определением, продифференцируем уравнение (2):

(3)

Максимальный ток будет достигаться в такие моменты времени, для которых . При этом, согласно уравнению (3), величина

Более общий путь определения амплитуды тока состоит в дифференцировании закона гармонических колебаний заряда (1):

(4)

Записываем полученный закон гармонических колебаний тока в общем виде:

(5)

Сравнивая уравнения (4) и (5), получаем формулу, связывающую амплитуды тока и заряда в любом ИКК:

(6)

Вычисляя по этой формуле, получаем тот же результат:

Собственная частота идеального колебательного контура зависит от его параметров следующим образом:

. (7)

Из этой формулы получаем расчетную формулу индуктивности катушки :

(8)

Вычисляем величину индуктивности:

.

Задача 2. Идеальному колебательному контуру (ИКК), состоящему из конденсатора емкостью и катушки индуктивностью , передали энергию . Определите амплитудные значения заряда , напряжения и тока в контуре, а также действующие значения тока и напряжения .

Дано ; ; ;

Решение Энергия, сообщенная колебательному контуру, например, путем зарядки конденсатора (или возбуждением в катушке индукционного тока), содержится в двух силовых полях. Электрическое поле конденсатора, имеющего в данный момент времени заряд , содержит энергию

; (1)

Магнитное поле катушки при протекании в ней тока также имеет энергию, зависящую от времени:

. (2)

Полная энергия ИКК равна сумме этих энергий:

. (3)

Запишем закон гармонических колебаний заряда конденсатора, полагая, что начальная фаза колебаний :

(4)

Дифференцируя уравнение (4), получаем закон колебаний тока в контуре:

(5)

Подставим мгновенные значения заряда и тока по уравнениям (4) и (5) в формулу (3) энергии ИКК:

(6)

В те моменты времени , когда фаза колебаний , имеем , а ; при этом полная энергия колебаний

(7)

В другие моменты времени , в которые фаза колебаний , имеем , а ; при этом полная энергия колебаний

(8)

Таким образом, когда заряд конденсатора и его энергия максимальны, ток в контуре равен нулю и энергия магнитного поля катушки также равна нулю; и наоборот, – при полностью разряженном конденсаторе ток в цепи и энергия магнитного поля этого тока максимальны.

Из формулы (7) получаем следующую расчетную формулу амплитуды заряда конденсатора:

. (9)

Вычисляем максимальный заряд конденсатора по этой формуле:

.

Напряжение на конденсаторе пропорционально его заряду:

, (10)

т. е. амплитуды колебаний заряда и напряжения достигаются одновременно. Вычислим максимальное напряжение на конденсаторе по формуле (10):

.

Расчетную формулу максимального тока в контуре найдем с помощью формулы (8):

. (11)

Вычисляем амплитуду колебаний тока по формуле (11):

.

Действующие (эффективные) значения тока и напряжения в раз меньше, чем максимальные значения:

(12)

Вычислим действующие значения тока в цепи и напряжения на конденсаторе:

.

Задача 3. В излучающей радиоантенне ток изменяется по закону , мА. Определите циклическую частоту , частоту и длину волны излучающейся электромагнитной волны (ЭМВ).

Дано , мА;

Решение Частота излучаемой ЭМВ равна частоте электромагнитных колебаний в излучателе, т. е. в радиоантенне. Запишем закон гармонических колебаний тока в антенне (колебательном контуре) в следующем виде:

(1)

Закон колебаний тока в данной радиоантенне:

, мА. (2)

Сравнивая уравнения (1) и (2), отметим, что начальная фаза колебаний заряда, тока и напряжения в антенне , а циклическая частота колебаний этих величин .

Определим частоту колебаний из формулы соотношения частот:

; (3)

Вычислим частоту колебаний величин в антенне:

.

Длина волны и частота колебаний электрического и магнитного полей в ЭМВ связаны следующим образом:

. (4)

Здесь – фазовая скорость ЭМВ; в воздухе, как и в вакууме, ее величина равна скорости света .

Вычислим по формуле (4) длину волны радиоволны, излучаемой данной антенной:

.

Часть 2