Математический аппарат теории надежности

2.2.1 Понятие случайной величины. Процесс возникновения отказов систем электроснабжения промышленных предприятий и составляющих их элементов носит случайный характер. Поэтому исследования надежности основаны на применении теории вероятностей и математической статистики.

Важным в теории вероятностей является понятие случайной величины, т. е. величины, которая в результате опыта может принимать то или иное неизвестное заранее значение.

Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными. Примером дискретной случайной величины может явиться количество отказов системы электроснабжения за месяц ее работы. Количество отказов принимает дискретное значение 0, 1, 2, 3, …

Случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, называются непрерывными. Например, время наработки на отказ элемента, длительность простоя системы электроснабжения из-за отказа элемента и т. д.

В результате опытов или наблюдений случайные величины получают конкретные значения. Если в точности будет указано, какой вероятностью обладает каждое из событий появления конкретных значений случайной величины, то случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения.

Соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называются законами распределения случайной величины.

Наиболее простой формой задания закона распределения дискретных случайных величин является ряд распределения. Ряд распределения может быть представлен графически – в виде полигона распределения (рисунок 24) или в виде таблицы:

Здесь x_i – возможные значения случайной величины x, а р_i – соответствующие им вероятности.

Рис.2.2 – Полигон распределения

Полной и универсальной формой задания закона распределения случайной величины является функция распределения, называемая также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Так как для непрерывной случайной величины невозможно перечислить все возможные ее значения, то для количественной характеристики непрерывного распределения пользуются не вероятностью события X = x, а вероятностью события X < x, называемой функцией распределения F(x) случайной величины x:

F(x) = P(X < x). (2.26)

График функции распределения является неубывающей функцией своего аргумента, значения которой изменяются от 0 до 1 (рисунок 25).

Для дискретных случайных величин функция распределения имеет вид:

F(x) = ∑ P(X = x). (2.27)

Рисунок 2.3 – График функции распределения непрерывной

случайной величины

В выражении (2.27) суммирование распространяется на все значения х_i, меньшие х. При прохождении текущей переменной через какое-нибудь из

Рисунок 2.4 – График функции распределения дискретной

случайной величины

возможных значений дискретной величины х, функция распределения меняется скачкообразно (рисунок 2.4), величина скачка равна Р(Х = х). Сумма всех возможных скачков функции F(х) равна единице.

Для характеристики непрерывных случайных величин наряду с функцией распределения широко используется плотность вероятности f(х), называемая также дифференциальным законом распределения и представляющая собой производную от функции распределения:

f(x) = F^΄(x). (2.28)

Графически функция плотности распределения представляется гистограммой , которая строится следующим образом. Над

Рисунок 2.5 – Гистограмма плотности распределения

каждым отрезком оси абсцисс, изображающим интервал значений случайной величины, строится прямоугольник, высота которого пропорциональна плотности вероятности f(x). При уменьшении величины каждого интервала гистограмма будет приближаться к некоторой плавной кривой, соответствующей графику плотности распределения случайной величины х (рисунок 2.6).

Рисунок 2.6 – Кривая плотности распределения

Интеграл от плотности распределения , т. е. площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

2.2.2 Законы распределения случайных величин.При исследовании надежности работы технических устройств необходимым является решение вопроса об установлении законов распределения случайных величин (наработки на отказ и времени восстановления) и соответствия их теоретическим законам. Так как закон распределения наработки на отказ и времени восстановления позволяет достаточно просто определить все основные количественные оценки надежности, то он является важнейшей характеристикой потока отказов.

При исследовании надежности электроснабжения промышленных предприятий представляют интерес следующие теоретические законы: экспоненциальный, нормальный, Пуассона, распределение Вейбулла.

Экспоненциальный закон надежности применяется для анализа сложных систем, прошедших период “приработки”, а также для систем, работающих в тяжелых условиях под воздействием механических нагрузок и климата. В большинстве случаев экспоненциальный закон характерен для внезапных отказов и часто применяется при исследовании надежности.

При экспоненциальном распределении наработки между отказами интенсивность потока отказов совпадает с параметром потока, причем λ = const. Независимость параметра потока отказов во времени является важнейшей особенностью экспоненциального закона.

При экспоненциальном законе имеют место следующие зависимости между основными количественными оценками надежности

(2.29)

Вид основных характеристик надежности для экспоненциального закона распределения приведен на сдедующих рисунках

Рисунок 2.7 – Зависимость Р(t) для экспоненциального закона

Рисунок 2.8 – Зависимость f(t) для экспоненциального закона

Рисунок 2.9– Зависимость λ(t) для экспоненциального закона

Необходимо отметить, что при экспоненциальном законе надежности математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение совпадают с параметром закона.

Это обстоятельство на практике часто используется для проверки гипотезы о существовании экспоненциального закона надежности. Для этого из статистических данных об отказах технических устройств определяются среднее значение параметра потока отказов и среднее квадратическое отклонение. Их равенство является доказательством правдоподобия принято гипотезы. Существенное отличие этих величин означает, что экспоненциальный закон несправедлив и пользоваться формулой (2.29) нельзя.

При экспоненциальном законе основные коэффициенты надежности будут выражаться следующими формулами

а) коэффициент готовности

б) коэффициент вынужденного простоя

в) коэффициент отказов элементов

г) коэффициент относительного простоя

Нормальный закон распределения применяется при постепенном изменении параметров системы или в том случае, когда доля внезапных отказов весьма мала, т.е. для систем, работающих в благоприятных условиях эксплуатации. Следовательно, нормальный закон безотказности характерен для постепенных отказов.

Плотность нормального распределения имеет следующий вид

, (2.30)

где Т_о, σ – параметры закона распределения, т.е. среднее значение (математическое ожидание) и среднее квадратическое отклонение времени между отказами.

При нормальном законе распределения все рассеивание случайных величин практически (с точностью до долей процента) укладывается на участке 3σ в обе стороны от математического ожидания Т_о.

Вероятность безотказной работы в течение требуемого времени t рассчитывается по формуле

, (2.31)

где Ф(z) = носит название функции Лапласа или интеграла вероятностей.

В функции Ф(z) величина z = (T₀ – t)/σ, поэтому выражение (2.31) можно записать в виде

. (2.32)

Функция Ф(z) является нечетной функцией, то есть Ф(-z) = - Ф(z). Для нахождения этой функции в зависимости от величин z имеются специальные таблицы [7, 8, 9].

Параметр потока отказов λ(t) при нормальном распределении определяется по следующей формуле

(2.33)

Вид основных характеристик надежности для нормального закона распределения приведен на следующих рисунках

Рисунок 2.10 – Зависимость Р(t) для нормального закона

Рисунок 2.11 – Зависимость f(t) для нормального закона

Рисунок 2.12 – Зависимость λ(t) для нормального закона

Из рисунка видно, что параметр потока отказов увеличивается с течением времени. Это означает, что поток отказов не является стационарным и имеет место старение элементов. В области малых значений t постепенные отказы несущественно влияют на надежность, вследствие чего вероятность безотказной работы уменьшается незначительно. При длительной эксплуатации системы, в которой наблюдаются постепенные отказы, ее надежность быстро снижается.

Распределение Пуассона довольно часто используется при исследовании надежности систем, для которых поток отказов является простейшим. В качестве случайной величины, принимающей только целые и положительные значения, рассматривается число отказов r, приходящихся на интервал времени t. Эта величина подчиняется распределению Пуассона, если вероятность того, что она примет значение r, находится по уравнению

(2.34)

где Р(r) – вероятность появления числа отказов в заданном интервале времени t;

а – среднее число отказов, приходящихся на интервал времени t(математическое ожидание).

Если число отказов в единицу времени постоянно, то формулу (2.34) можно переписать в следующем виде

(2.35)

где t – время, для которого определяется вероятность появления r отказов в системе;

Т – среднее время работы системы между двумя отказами.

На основании уравнения (2.35) можно вычислить вероятность появления в системе любого числа отказов от r = 0 до r = ∞ для заданного значения относительного времени t/T.

В соответствии с теоремой сложения вероятностей выражение рассматривается как сумма вероятностей полной группы несовместных событий. Тогда, задаваясь значениями r = 0, 1, 2, 3 и т.д., выражение (2.35) можно представить в виде бесконечного ряда, сумма которого равна единице, т.е.

(2.36)

Каждый из членов ряда определяет вероятность соответствующего числа отказов. Так, первый член этого выражения определяет вероятность отсутствия числа отказов за время t, т.е. P(t) = . Следовательно, экспоненциальный закон надежности можно получить как частный случай распределения Пуассона при r = 0. Второй член выражения (2.36) определяет вероятность того, что за время t произойдет только один отказ и т.д.

На рисунке 35 представлены кривые распределения Пуассона для различного рода отказов. Каждая из этих кривых представляет собой вероятность возникновения определенного числа отказов r за различное относительное время t/T.

Рисунок 2.13 – Кривые распределения Пуассона для различного числа отказов

Приведенные кривые очень удобны для практического применения. Пусть система испытывается в течение времени t = Т. Из рисунка 35 видно, что вероятность отсутствия отказов Р(0) = 37%, вероятность появления одного отказа Р(1) = 37%, двух отказов Р(2) = 18%, трех Р(3) = 6% и т.д.

Пользуясь кривыми рисунка 35, можно также определить вероятность появления числа отказов при различной длительности испытаний. Пусть система имеет известное время Т = 200 ч. Если длительность испытания t = 100 ч, то t/T = 0,5. Тогда вероятность того, что в системе не произойдет ни одного отказа составляет 55%, один отказ – 30%, два отказа – 9%, три отказа – меньше 2%.

Необходимо отметить, что для распределения Пуассона математическое ожидание случайной величины совпадает с дисперсией, т.е.

а = σ²(r). (2.37)

Это обстоятельство может служить в качестве ориентировочной оценки и возможности аппроксимации статических данных об отказах системы законом Пуассона.

Распределение Вейбулла находит широкое применение для аппроксимации статистических данных о времени восстановления. Это распределение может быть использовано также в качестве характеристики надежности систем в течение времени их приработки.

Случайная положительная величина имеет распределение Вейбулла, если ее функция распределения записывается в виде

(2.38)

где а и b – положительные числа.

Отсюда

(2.39)

Из формул (2.38) и (2.39) видно, что распределение Вейбулла, в отличие от экспоненциального, содержит два параметра a и b.

При значениях b < 1 функция (2.39) применима для элементов, у которых быстро наступает износ.

При b = 1 распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное.

Для плотности вероятности справедливо уравнение

(2.40)

Из выражений (2.39) и (2.40) получаем

(2.41)

Вид основных количественных характеристик надежности для распределения Вейбулла приведен на следующих рисунках

Рисунок 2.14 – Зависимость Р(t) для распределения Вейбулла

Рисунок 2.15 – Зависимость f(t) для распределения Вейбулла

Рисунок 2.16 – Зависимость λ(t) для распределения Вейбулла

Для определения среднего времени восстановления Т_в (наработки на отказ Т_о) и среднего квадратического отклонения величины Т_в(Т_о) справедливы формулы

Т_в = а·К_b; (2.42)

σ(Т_в) = а·С_b , (2.43)

где (2.44)

(2.45)

- гамма-функция, значения которой табулированы [4, 5, 6].

Коэффициент вариации v(t), определяемый отношением среднего квадратичного отклонения случайной величины к его математическому ожиданию, для распределения Вейбулла равен

(2.46)

Определение основных количественных характеристик надежности для распределения Вейбулла производится следующим образом. Поскольку распределение полностью определяется параметрами а и b, расчет следует начинать с их определения. Исходными данными являются экспериментальные значения времени восстановления каждого элемента системы. По статистическим данным определяются значения среднего времени восстановления (см. (2.15)) и его квадратического отклонения по формуле

(2.47)

По опытным значениям Т_в и σ_Тв определяется коэффициент вариации. По данным таблиц [4,5,6] определяется величина искомого параметра b, коэффициентов К_b и С_b. Второй параметр а вычисляется по формуле (2.42) или (2.43), в которую подставляются уже известные значения Т_в и σ_Тв. Найденные значения параметров а и b позволяют определить основные количественные характеристики надежности для распределения Вейбулла.