Равновесие капельной жидкости во вращающемся сосуде


Равновесие жидкости в сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси, реализуется лишь при постоянной угловой скорости вращения w = const (рис. 3.2).

По истечении достаточного времени после начала вращения жидкость приобретает ту же скорость вращения, что и сосуд, а свободная поверхность ее видоизменяется: в централь- ной части уровень жидкости понизится, у стенок – повысится и вся свободная поверхность станет некоторой поверхностью вращения (рис. 3.2, а). На жидкость в этом случае будут дей- ствовать две массовые силы: сила тяжести и центробежная сила, которые, будучи отнесен-

ными к единице массы, соответственно равны g и w²r.

При проецировании на оси координат равнодействующей массовых сил (рис. 3.2, б)

получим выражения

X = w2r cos a= w2x ;Y = w2r´sin a = w2y ; Z = – g.

Подставляя эти выражения в уравнение (2.1), получаем

dp = ρ (w2 x dx +w2 y dy gdz),


или


 

dp = ρ (w2 r dr g dz).

После интегрирования находим


ω2 r2

p = ρ


g z + C . (3.6)


Подставляя в уравнение (3.6) граничные условия r = 0, z = z0 и p = p0, находим посто- янную интегрирования

C = р0+ ρ g´z0.

Тогда закон распределения давления можно выразить формулой

2r2


p = p0 + ρ ω2


+ ρg (z0 - z) , (3.7)


т. е. в этом случае также справедлив линейный закон распределения давления по глубине. Изменение давления по радиусу подчиняется параболическому закону. Полагая p = const, из выражения (3.6) получим уравнение поверхностей уровня:

ω2 r2


p = ρ


- ρ gz + C1. (3.8)


 

z
p0
r
´
ω r
g
j
O
ω=const
O
r x
α
y
y
x

x

а б

 

Рис. 3.2. Относительное равновесие жидкости в равномерно вращающемся цилиндрическом сосуде

Эти поверхности уровня представляют собой параболоиды вращения. Одним из таких параболоидов является свободная поверхность жидкости.

Так как в вершине параболоида свободной поверхности r = 0, z = z0, C1= ρ g´z0,то уравнение свободной поверхности примет вид


 

 

Зависимость


z - z0=


ω2r2

2g


. (3.9)


z - z0 = Dh =


ω2r2

2g


(3.10)


при постоянном радиусе (r = const) устанавливает связь между величиной возвышения Dh

любой точки, расположенной на свободной поверхности над точкой, лежащей на оси враще- ния, и угловой скоростью w. Она позволяет определить число оборотов цилиндра, если из- вестно превышение Dh , что и используется при конструировании жидкостных тахометров, с помощью которых измеряется число оборотов вала.

Угловая скорость определяется по выражению

w = 2´p´ n/ 60 = p´ n/ 30. Отсюда формула для определения числа оборотов:

n = 30´ w/ p.

Из выражения (2.10) следует

 


 

 

Следовательно,


ω = .

2gDh
r


30 2gDh
n = .

p r

Максимальное превышение точек с радиусом R над точкой, лежащей на оси вращения, обозначим Dhmax, тогда

 


 

 

где R – радиус сосуда.


n = ,

30 2gDhmax
p R


Равновесие газов

Равновесие газа называется баротропным, если плотность газа может рассматривать- ся как функция только давления (r = r(р)). Если плотность газа является функцией давления и температуры (r = r(р, Т)). то равновесие газа называется бароклинным.

Рассмотрим два случая баротропного равновесия газа в поле сил тяжести. В изотер- мическом процессе температура во всех точках газа одинакова (Т = T0 = const) и уравнение состояния может быть представлено в виде


ρ = ρ0


р , (3.11)

р0


где r – плотность газа при давлении р; r0 – плотность газа при давлении p0 в точке Z0.

Так как проекции единичных массовых сил на координатные оси X = 0, Y = 0 и Z = –g, то дифференциальное уравнение равновесия (3.11) принимает вид

dp = – r g dz, (3.12)

Подставляя уравнение состояния (3.11) в дифференциальное уравнение равновесия (3.12), получаем


dz = -

 

Интегрируя уравнение (3.13), находим


p0

ρ0g


dp . (3.13)

p


z = -


p0

ρ0g


ln p + C . (3.14)


 

z = z0:


Значение постоянной интегрирования С находим из граничных условий р = р0при

 

p0


C = z0 +


ρ0g


ln p0


(3.15)


Подставляя значение С из уравнения (3.15) в (3.14) и обозначая высоту рассматривае- мой точки над точкой Z0 Н = z – Z0, получаем


ln pp0


=-ρ0 gH ,

p0


откуда находим закон изменения давления в газе при изотермическом процессе:

p = p0 exp(- ρ0 gH / p0 ).

В адиабатном процессе нет теплообмена с окружающей средой и уравнение состояния газа принимает вид


æ

ρ = ρ0çç


p ök

¸¸


 

, (3.16)


è p0 ø

где k — показатель адиабаты, равный отношению удельных теплоемкостей газа при постоян- ном давлении ср и постоянном объеме cv.

Подставляем уравнение состояния (3.16) в дифференциальное уравнение равновесия

(3.13), получаем

( p )1k 1


dz = - 0 p

ρ0g


kdp . (3.17)


Интегрируя дифференциальное уравнение (3.17), находим


k ( p


)1k


k -1


z =

k -1


0 pk

ρ0g


+ C1


(3.18)


Значение постоянной интегрирования С1; находится из граничных условий р = р0 при

z = Z0:


k ( p


)1k


k -1 k p


C1 = z0 +


 

k -1


0 pk

ρ0g


= z0+


0 .

k -1 ρ0 g


k
ú
Подставляя найденное значение С1 в уравнение (3.18) и обозначая H = z z0, получаем


æ 1 ö


é k -1 ù


H = k

-


çp0

ç


-( p0 ) k


k -1

p k ¸=

¸ -


p0 ê1

ê


æ

- çç


p ök

¸¸ ú,


k 1 èρ0g


ρ0g


ø k 1 ρ0 g êë


è ρ0 ø úû


откуда находим закон изменения давления газа при адиабатическом процессе:

¸
k


æ k ρ


gHök -1


p = p0 çç1-


0 ¸ .


è k -1


p0 ø



Дата добавления: 2016-10-07; просмотров: 1531;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.022 сек.