Представление чисел в позиционной системе счисления

Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов, называемых цифрами. Существуют различные системы счисления. От их особенностей зависят наглядность представления числа при помощи цифр и сложность выполнения арифметических операций.

Наглядность представления чисел и простота выполнения арифметических операций характерны для позиционной системы счисления. Система счисления называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значение, определяющееся позицией цифры в последовательности цифр, изображающей число. Позиционной является десятичная система. Помимо десятичной существуют другие позиционные системы. Некоторые из них применяются в вычислительной технике.

Количество s различных цифр, употребляемых в позиционной системе, называется ее основанием. Эти цифры обозначают s целых чисел, обычно 0, 1, ... , (s - 1). В десятичной системе счисления используются десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; эта система имеет основанием число десять.

В общем случае в позиционной системе счисления с основанием s любое число x может быть представлено в виде полинома от основания s:

х = ε_rs^r + ε_{r -1}s^{r -1} + … + ε₁s¹ + ε ₀s⁰ + ε₁s¹ + ε _-1s ^-1+ ε _{- 2}s ^-2 + …,

где εi - любые из s цифр, используемых в системе счисления.

Принято представлять числа в виде соответствующей последовательности цифр, используемых в системе счисления:

х = ε_rε_r-1 ... ε₁ε₀ . ε_-1ε_-2 …

В этой последовательности точка (.) отделяет целую часть числа от дробной. Точка опускается, если нет дробной части. Позиции цифр, отсчитываемые от точки, называют разрядами. В позиционной системе счисления значение каждого разряда больше значения соседнего справа разряда в число раз, равное основанию s системы.

В ЭВМ применяют позиционные системы счисления с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную и др.. Далее для обозначения системы счисления будем заключать число в скобки и в индексе указывать основание системы счисления.

Наиболее распространенная в ЭВМ – двоичная система счисления. В этой системе используются только две ("двоичные") цифры: 0 и 1. В двоичной системе любое число может быть представлено последовательностью двоичных цифр:

х = α_m α_{m -1} ... α₁ α₀ . α_-1 α_-2 …

где αi - либо 0, либо 1.

Эта запись соответствует сумме степеней числа 2, взятых с указанными в ней коэффициентами:

х = α_m .2^m + α_m-1 .2^m-1 + … + α₁ .2¹ + α₀ .2⁰ + α_-1 .2^-1 + α_-2 .2^-2 + …

Например, двоичное число

(10101101.101)₂ = 1*2⁷ + 0*2⁶ + 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ + 1*2^-1 + 0*2^-2 + 1*2^-3,

как следует из приведенного разложения его по степеням числа 2, соответствует десятичному числу (173.625)₁₀.

Двоичное изображение числа требует большего числа разрядов, чем его десятичное представление, но создает больше удобства для проектирования ЭВМ:

1) для представления двоичного элемента используют всего два устойчивых состояния (например, триггерные схемы);

2) из-за простоты двоичной арифметики.

В восьмеричной системе употребляется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Любое число в восьмеричной системе представляется последовательностью цифр:

х = β_qβ_q-1 ... β₁β₀ . β_-1β_-2 …_,

в которой βi -могут принимать значения от 0 до 7.

Например, восьмеричное число

(703.04)₈ = 7*8² + 0*8¹ + 3*8⁰ + 0*8^-1 + 4*8^-2 = (451.0625)₁₀.

В шестнадцатеричной системе для изображения чисел употребляют 16 цифр:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

A соответствует (10)₁₀, B – (11)₁₀, C – (12)₁₀, D – (13)₁₀, E – (14)₁₀, F – (15)₁₀.

Например, шестнадцатеричное число

(B2E.4)₁₆ = 11*16² + 2*16¹ + 14*16⁰ + 4*16^-1 = (2862.25)₁₀.