IV. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

По способу представления информации системы связи делятся на аналоговые и цифровые. Общие принципы построения таких систем и их особенности изучаются в соответствующих курсах. Цифровые системы в недалеком будущем займут главенствующее положение. Они состоят из импульсных и вычислительных устройств, осуществляющих усиление, генерирование, формирование, преобра­зование импульсных сигналов, используемых в системе. Вычислительные устройства выполняют функции хранения и обработки цифровой информации, преобразования информации из аналоговой формы представления в цифровую, и наоборот.

Система изображения любых чисел с помощью огра­ниченного числа символов называется системой счисле­ния. Используемые в системе счисления символы назы­ваются цифрами.

Существуют различные системы счисления, и от их особенностей зависит наглядность представления числа при помощи цифр и сложность выполнения арифметиче­ских операций. Если в системе счисления каждой цифре в любом месте числа соответствует одно и то же значе­ние — количественный эквивалент, то такая система счисления называется непозиционной. Таким образом, для непозиционных систем счисления местоположение цифры в записи числа не играет никакой роли.

Примером непозиционной системы счисления являет­ся римская система, в которой используются римские цифры I, V, X, L, С, М. Соответственно значение числа, например, CCXXIV вычисляется следующим образом: С=100, Х=10, V=5, I=1. При этом вес цифры не за­висит от ее местоположения в записи числа, а знак за­висит. Если цифра с меньшим весом стоит слева от циф­ры с большим весом, то ее знак —, а если цифра с мень­шим весом стоит справа от цифры с большим весом то ее знак +. Общим недостатком непозиционных систем счисления являются трудности записи в таких системах больших чисел и трудности выполнения арифметических операций, поскольку для этого используются громоздкие правила. Поэтому в цифровой технике непозиционные системы практически не нашли применения.

В цифровой технике используются позиционные си­стемы счисления. Система счисления называется пози­ционной, если одна и та же цифра имеет различное зна­чение, которое определяется ее позицией в последова­тельности цифр, изображающей число. Это значение меняется в однозначной зависимости от позиции цифры по некоторому закону.

В десятичной системе основание р=10 и для записи чисел используется десять цифр: 0, 1, 2, ..., 9. Каждая цифра числа занимает в нем определенный разряд, ко­торый имеет весовые коэффициенты для разрядов влево от запятой 10⁰, 10¹, 10²... и вправо от запятой 10^-1, 10^-2, 10^-3, ...

Позиционные системы счисления имеют ряд преиму­ществ перед непозиционными. Основным преимущест­вом следует считать удобство выполнения таких ариф­метических операций, как сложение, вычитание, умно­жение, деление, извлечение корня и др. Поэтому в циф­ровой технике, как правило, применяются позиционные системы счисления. Выбор основания системы счисления зависит от физических элементов, на основе которых строится то или иное устройство. В цифровой технике широко используются элементы с двумя устойчивыми состояниями. В этих элементах различие между отдель­ными фиксированными состояниями носит качественный, а не количественный характер, благодаря чему пред­ставление чисел с их помощью может быть реализовано значительно надежнее, чем с помощью элементов, в ко­торых число четко различимых состояний превышает два. В частности, выполнение элемента с десятью четко раз­личимыми состояниями представляет собой сложную техническую задачу. Указанное обстоятельство явилось одной из главных причин распространения в цифровой технике позиционных систем с недесятичным основани­ем, в первую очередь двоичной, а также восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления.

Наибольшее распространение в цифровой технике имеет двоичная система счисления. В этой системе ис­пользуются только две цифры: 0 и 1. В двоичной си­стеме любое число может быть представлено последова­тельностью двоичных цифр:

N₂=a_m a_m-1 a_m-2……a₀ a_-1 a_-2 ,

где а_i , принимает значение либо 0, либо 1. Эта запись соответствует сумме степеней числа два, взятых с ука­занными в ней коэффициентами:

N₂= a_m 2^m+a_m-1 2^m-1+a_m-22^m-2+….+a₀ 2⁰+a_-1 2^-1+a_-12^-2…

Вес разрядов, отсчитываемых влево от запятой, в целой части числа равен соответственно 1, 2, 4, 8, 16, .... вес же разрядов правее запятой в дробной части будет ½, ¼, и т.д. Например, число 11010,11₂ соответствует сле­дующему количеству:

11010,112= 1*2⁴+1*2³+0*2²+1*2¹+0*2⁰+1*1/2+1*1/4

которое, как следует из приведенного разложения его по степеням числа 2, равно десятичному числу 26,75₁₀. В восьмеричной системе счисления употребляется восемь цифр: 0, 1, 2, ..., 7. Любое число в восьмеричной системе представляется последовательностью"

N₈=b_m b_m-1 b_m-2……b₀ b_-1 b_-2 ,

в которой цифры b_i могут принимать значения от 0 до 7. Вес разрядов целой части 1, 8, 64, 256, ..., в дробной ча­сти 1/8, 1/64, 1/256. Например, восьмеричное число 756,2:

756,25₈ = 7* 8² + 5*8¹ + 6* 8⁰ + 2.8^-1

равно десятичному числу 494, 328125₁₀.

В шестнадцатеричной системе счисления для изобра­жения чисел употребляется 16 цифр: 0... 15. При этом, чтобы одну цифру не изображать двумя символами, приходится вводить специальные обозначения для цифр больше девяти. В качестве шести символов обычно ис­пользуются буквы латинского алфавита А, В, С, D, Е, F, которым в десятичной системе соответствуют числа 10, 11, 12, 13, 14, 15. Таким образом, шестнадцатеричное число А7В,C8 соответствует следующему количеству:

A7B,C8₁₆= 10*16²+7*16¹+11*16⁰+12*16^-1+8*16^-2, равному десятичному числу 2683,78125₁₀.

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ

Основания восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисле­ния выражаются целой степенью двух (8=2³, 16=2⁴). Этим объ­ясняется простота преобразования чисел, представленных в этих системах, в двоичную систему счисления и обратно.

Для перевода чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную достаточно каждую цифру восьмеричного числа пред­ставить трехразрядным двоичным числом. Например,

762,35₈=111 110 010, 011 101₂.

Перевод шестнадцатеричных чисел в двоичную систему счисле­ния достигается представлением цифр шестнадцатеричного числа четырехразрядными двоичными числами. Например,

А7В, С7₁₆=1010 0111 1011, 1100 0111₂ .

При обратном переводе чисел из двоичной системы в восьме­ричную или шестнадцатеричную системы счисления необходимо разряды двоичного числа, отсчитывая их от запятой влево и впра­во, разбить на группы по три разряда в случае перевода в вось­меричную систему или на группы по четыре разряда в случае пе­ревода в шестнадцатеричную систему счисления. Неполные край­ние группы дополняются нулями. Затем каждая двоичная группа представляется цифрой той системы счисления, в которую пере­водится число.

Большую сложность представляет перевод чисел из десятич­ной в двоичную и обратно. Метод, используемый для такого пере­вода, зависит от системы счисления, в которой проводятся ариф­метические операции, необходимые для перевода числа из одной системы счисления в другую. Если перевод осуществляется вруч­ную, то очевидно, операции будут выполняться в десятичной си­стеме счисления, если цифровым устройством, то арифметические операции будут выполняться над числами, представленными в двоичной системе счисления. Целая часть числа преобразуется точно, дробная часть — при­ближенно.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ

Основной операцией, которая используется в цифровых уст­ройствах при выполнении различных арифметических действий, является алгебраическое сложение (сложение, в котором могут участвовать как положительные, так и отрицательные числа). Вычитание легко сводится к сложению путем изменения знака вычитаемого на обратный. Операции умножения и деления так­же сводятся к сложению и некоторым логическим действиям. По­этому именно с операции сложения начнем рассмотрение способов выполнения арифметических операций.

При записи кода числа будем знак числа представлять 0 (для положительных чисел) и 1 (для отрицательных чисел). Именно такими цифрами в устрой­ствах, предназначенных для хранения чисел, принято фиксировать знак числа в специально выделяемых так называемых знаковых разрядах. Положение запятой в числе показывать не будем.

Сложение положительных чисел.

Сложение чисел в двоичной системе счисления выполняется на основе таблицы двоичного сложения:

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10

Двузначная сумма в последнем случае означаете что при сложении двух двоичных цифр, равных 1, в каком-либо разряде двоичного числа возникает перенос в со­седний старший разряд. Этот перенос должен быть при­бавлен к сумме цифр, образовавшейся в соседнем раз­ряде.

При сложении двух многоразрядных двоичных чисел цифры разрядов суммы формируются последовательно, начиная с младшего разряда. Цифра младшего разряда суммы образуется суммированием цифр младших раз­рядов слагаемых. При этом кроме цифры разряда сум­мы формируется цифра переноса в следующий, более старший разряд, если оба младших разряда единицы. Таким образом, в разрядах, начиная со второго, могут суммироваться три цифры: цифры соответствующего разряда слагаемых и перенос, поступающий в данный разряд из предыдущего. Этот перенос равен 1 во всех случаях, когда результат суммирования цифр в разряде равен или больше 2, поскольку 2 является основанием системы счисления. При этом в разряд суммы записыва­ется цифра, на две единицы меньшая результата суммирования.

Пример сложения двух многоразрядных двоичных чисел:

1101101 — первое слагаемое

+

1001111 — второе слагаемое

0100010 — поразрядная сумма без учета переносов

+

1 11 1 — переносы

10111100— окончательная сумма.

Непосредственно под двумя слагаемыми записан ре­зультат поразрядного сложения без учета переноса. В тех разрядах, в которых оба слагаемых равны едини­це, поразрядная сумма равна 0. В этих разрядах обра­зовался перенос в соседний старший разряд, который от­мечен в следующей строке. В результате сложения стро­ки поразрядных сумм со строкою переносов получается окончательная сумма. При сложении подразрядной сум­мы с переносами удобно пользоваться следующим пра­вилом: если в результате поразрядного суммирования образовалась группа единиц, расположенных рядом, и в младший разряд этой группы поступает перенос 1, то он переводит все единицы этой группы в нули, а ближай­ший за рядом единиц 0 - в 1.

Вычитание двух чисел в двоичной системе выполняется на основе таблицы двоичного вычитания

0-0=0,

1-0= 1,

1-1=0,

10-1 = 1.

Если при поразрядном вычитании приходится вычитать из нуля в уменьшаемом единицу в вычитаемом, то делается заем в соседнем старшем разряде, т.е. едини­ца старшего разряда представляется как две единицы данного разряда. Вычитание в этом случае выполняется в соответствии с таблицей. Если в соседнем разряде или в нескольких старших разрядах стоят нули, то заем де­лается в ближайшем старшем разряде, в котором стоит единица. Эта единица представляется в виде суммы числа, состоящего из единицы во всех промежуточных раз­рядах, в которых находились нули, и двух единиц в дан­ном разряде. Далее производится поразрядное вычита­ние в соответствии с таблицей. Естественно, что необхо­димости в дополнительном заеме во всех промежуточных разрядах появиться не может.

В цифровой технике операция вычитания с использо­ванием заема практически не применяется (за исключе­нием отдельных устройств) и реализуется как алгеб­раическое сложение с применением специальных кодов для представления отрицательных чисел. При этом опе­рация вычитания сводится к операции простого арифме­тического сложения при помощи обратного и дополни­тельного кодов, используемых для представления отри­цательных чисел.

Обратный код отрицательных двоичных чисел может быть сформирован по следующему правилу: цифры всех разрядов, кроме знакового, заменяются на обратные (инвертируются) — единицы заменяются нулями, а нули единицами. В знаковый разряд ставится единица. Обрат­ное преобразование из обратного кода в прямой произ­водится по тому же правилу. При использовании обрат­ного кода операция вычитания реализуется как арифметическое сложение положительного числа, пред­ставленного в прямом коде, с отрицательным числом, представленным в обратном коде. Например, при вычи­тании из числа 0 10110 числа 1 01101 уменьшаемое пред­ставляется как положительное число в прямом коде 0 10110, а вычитаемое — как отрицательное число в обратном коде 1 10010. В представлении чисел знаковые разряды выделены подчеркиванием. При выпол­нении операции арифметического сложения над этими числами получаем алгебраическую сумму:

0 10110 — первое слагаемое в прямом коде,

+

1 10010 — второе слагаемое в обратном коде,

+

10 01000

1

0 01001 — сумма в прямом коде.

Перенос, возникающий из знакового разряда, при использовании обратного кода должен прибавляться в младший разряд суммы. В данном примере уменьшае­мое по модулю больше вычитаемого, поэтому алгебраи­ческая сумма положительная и представлена в прямом коде. Если уменьшае­мое по модулю меньше вычитаемого результатом сложения будет отрицательное число и оно будет представлено в обратном коде.

Дополнительный код отрицательных двоичных чисел может быть сформирован по следующему правилу: циф­ры всех разрядов, кроме знакового, инвертируются, и в младший разряд прибавляется единица. Дополнитель­ный код может быть получен и из обратного путем при­бавления единицы к младшему разряду обратного кода. При этом в знаковый разряд отрицательного числа в до­полнительном коде ставится единица. Обратное преоб­разование из дополнительного кода в прямой произво­дится по тому же правилу.

При использовании дополнительного кода для вычи­тания двоичных чисел из предыдущего примера получим:

0 10110 — первое слагаемое в прямом коде,

+

1 10011 — второе слагаемое в дополнительном коде,

0 01001 — сумма в прямом коде.

При сложении складываются цифры знаковых раз­рядов с отбрасыванием возникающего из этого разряда переноса. Алгебраическая сумма, полученная в результате сложения, является положительным числом и по­этому представлена в прямом коде. Если уменьшае­мое по модулю меньше вычитаемого результатом сложения будет отрицательное число и оно будет представлено в дополнительном коде.

Умножение двоичных многоразрядных чисел включа­ет в себя две операции — определение знака произведения и определение его абсолютной величины. Знаковый раз­ряд может быть получен суммированием цифр знаковых разрядов сомножителей без формирования переноса:

0+0=0,

0+1=1,

1+0=1,

1+1= 0 - без формирования переноса.

При несовпадении цифр получается 1, что соответст­вует знаку произведения двух сомножителей с разными знаками.

Абсолютная величина значения произведения опре­деляется путем перемножения чисел без учета их зна­ков. Перемножение многоразрядных двоичных чисел производится на основе таблицы двоичного умножения

0х0=0,

0х1=0,

1х0=0,

1х1=1.

При умножении двух двоичных чисел множимое по­следовательно умножается на каждую цифру множите­ля, начиная либо с младшей, либо со старшей, и для учета веса соответствующей цифры множителя сдвига­ется либо влево, если умножение производится, начиная с младшего разряда множителя, либо вправо, если ум­ножение производится, начиная со старшего разряда множителя, на такое число разрядов, на которое соот­ветствующий разряд множителя сдвинут относительно младшего или старшего разряда.

Получающиеся в результате умножения и сдвига частичные произведения после суммирования дают пол­ное произведение. Особенность умножения двоичных чисел состоит в том, что частичное произведение может быть либо сдвинутым на соответствующее число разря­дов множимым, если соответствующая цифра множите­ля равна 1, либо нулем, если соответствующая цифра множителя равна 0:

10111 — множимое,

*

1101 — множитель

10111 — первое частичное произведение

00000 — второе частичное произведение

10111 — третье частичное произведение

10111 — четвертое частичное произведение

100101011 —- произведение

Тот же результат можно получить при умножении, начиная со старших разрядов множителя и сдвигая частичные произведения вправо.

В цифровых устройствах процессу суммирования час­тичных произведений придают последовательный харак­тер: формируется одно из частичных произведений, к не­му с соответствующим сдвигом прибавляется следующее частичное произведение, к полученной сумме прибавля­ется с соответствующим сдвигом очередное частичное произведение, и т. д., пока не окажутся просуммирован­ными все частичные произведения и не будет получено полное произведение.

При таком методе все частичные произведения сум­мируются с требуемыми сдвигами друг относительно друга, благодаря чему образуется ранее приведенный результат умножения этих чисел.

Если требуется сохранить все разряды в произведе­нии, то в разрядной сетке устройства должно быть преду­смотрено число разрядов, равное сумме числа разрядов множимого и множителя. Однако при умножении дроб­ных чисел часто в произведении требуется иметь то же число разрядов, что и в множимом. В таком приближен­ном представлении результата не фиксируются цифры разрядов при сдвигах. Таким образом, цифры младших разрядов ока­жутся потерянными и будет получен приближенный ре­зультат. Далее отбрасывается последний из разрядов, и если этот разряд содержит 1, то 1 прибав­ляется к следующему разряду для округления результа­та.

Если множимое, или множитель, или оба вместе со­держат и целую и дробную части, то запятые в множи­мом и множителе не учитываются, они умножаются как два целых числа и от полученного произведения справа отделяются запятой m+n разрядов, где n — число дроб­ных разрядов множимого, a m — число дробных разря­дов множителя.

Деление двоичных многоразрядных чисел включает в себя две операции—определение знака частного и оп­ределение его абсолютной величины.

Знаковый разряд частного может быть получен, как и знаковый разряд произведения, суммированием цифр знаковых разрядов делимого и делителя без формирова­ния переноса. Абсолютная величина частного определя­ется делением чисел без учета их знаков.

Деление начинается с того, что от делимого слева от­деляется группа разрядов, причем количество разрядов в этой группе должно либо равняться количеству раз­рядов в делителе, либо быть на один разряд больше. Если отделение такой группы возможно, в старший раз­ряд частного записывается 1, в противном случае в раз­ряд единиц частного записывается нуль. Если выявилось, что частное содержит целую часть, то образуется новая группа разрядов путем вычитания из выделенной группы делителя и приписывания к разности очередной цифры делимого. Если в результате получилось число, превы­шающее делитель, то в частное записывается 1, в про­тивном случае следующая цифра будет равна 0.

В дальнейшем выполняется ряд одинаковых циклов. Если последняя цифра частного была равна 1, то новая группа образуется вычитанием делителя из предыдущей группы и приписыванием очередной цифры делимого. Если последняя цифра частного 0, то для образования новой группы достаточно приписать к предыдущей груп­пе очередную цифру делимого. Последняя цифра целой части частного получается тогда, когда после определе­ния очередной цифры частного 1 или 0 в делимом не останется больше цифр для того, чтобы приписывать их к разности между предыдущей группой и делителем или ь самой предыдущей группе. После этого начинается выделение дробных членов частного. Оно отличается от вычисления целых членов только тем, что вместо очеред­ных цифр делимого к предыдущим группам приписыва­ются нули.

В цифровых устройствах при выполнении операции деления так же, как и при выполнении операции алгеб­раического сложения, используется дополнительный и модифицированный коды.

ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ С ФИКСИРОВАННОЙ И ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКАМИ

В вычислительной технике применяют две формы представ­ления чисел: с фиксированной точкой (запятой) и с пла­вающей точкой (запятой). Эти формы называют также соответственно естественной и полулогарифмической. Множество чисел, которые могут быть изображены с по­мощью n двоичных разрядов, представляет собой на числовой оси ряд из 2ⁿ равностоящих точек с дискрет­ностью, т. е. расстоянием между точками, равной весу младшего разряда, который заполняет некоторую об­ласть между Nmin и Nmax. Любое число между Nmin и Nmax может быть изображено с абсолютной погрешно­стью, не превышающей половины младшего разряда. Относительная погрешность зависит от абсолютной ве­личины числа и может меняться в широких пределах.

Представление числа таким способом называется представлением с фиксированной точкой. Такое название связано с тем, что точка, отделяющая дробную часть от целой, фиксируется в определенном месте относительно разрядов числа. Обычно точка находится или перед старшим разрядом, или после младшего. В первом слу­чае могут быть представлены только числа по модулю меньшие единицы, а во втором случае—только целые числа. На рис. 20,а показаны примеры форматов для представления двоичных чисел с фиксированной точкой. Для кода знака выделяется знаковый разряд — обычно крайний слева. В знаковом разряде 1 соответствует ми­нусу, а 0 — плюсу. На рис. 20,а показан формат для числа с точкой, фиксированной перед старшим разрядом. В этом формате могут быть представлены числа — пра­вильной дроби с точностью до 2^-(n-1). При этом диапа­зон представления чисел будет

2^-(n-1) < | N | < 1 - 2^-(n-1).

Если точка фиксирована справа от младшего разряда, то при п разрядах можно представить целые числа в ди­апазоне

1< | N | < 2^-(n-1) - 1.

По сравнению с выполнением действий над дробны­ми числами использование целочисленной арифметики позволяет более экономно расходовать оборудование, так как для достижения требуемой точности нет необ­ходимости учитывать большое количество младших разрядов, как это имеет место при оперировании пра­вильными дробями. Кроме того, выравнивание по млад­шим разрядам уменьшает вероятность возникновения пе­реполнения разрядной сетки, т.е. появления результата, превышающего максимально допустимый при данном числе разрядов.

Кроме способа представления чисел с фиксированной точкой широкое распространение получил другой способ — представление чисел с плавающей точкой.Приэтом число представляется в виде:

N = ±q, ±m,

что соответствует следующей записи:

N = р^±q (± m),

где р — основание системы счисления; q — целое число, выражающее порядок числа N; m — мантисса числа, причем всегда выполняется неравенство |m| < 1 (рис. 20, б). Запись числа в таком виде называется полулогарифмической потому, что в логарифмической форме представляется не все число, а только его часть р^±q. При полулогарифмической записи положение точки в мантиссе m опреде­ляется величиной порядка q. С изменением порядка в большую или меньшую сторону точка перемещается влево или вправо, т. е. «плавает» в изображении числа.

а)

б)

Рис. 20.

Представление числа в форме р^±q (± m) не является однозначным, так как его значение не изменится при за­писи в разрядах мантиссы числа m*q_k вместо m и числа (q—k) в разрядах порядка вместо q. Поэтому на изо­бражение числа в форме с плавающей точкой наклады­вается еще одно дополнительное условие, чтобы незави­симо от значения числа абсолютная величина мантиссы изменялась в узких пределах. Число, представленное в записи р^±q (± m), называется нормализованным, если мантисса удовлетворяет условию

1 > | т | > 1/р,

т. е. если старший разряд мантиссы в системе счисления с основанием р отличен от нуля.

Операция преобразования ненормализованного чис­ла в нормализованное называется нормализацией. Для выполнения операции нормализации под знак числа от­водится два разряда. Если нормализованное двоичное число положительно, то в старшем цифровом разряде должна стоять 1, а если оно отрицательное —то 0. Со­четание 01 и 10 в знаковом и старшем цифровых разря­дах означает выполнение одного из условий нормализа­ции

1/2 < | m | ,

а сочетание 00 и 11 в этих же разрядах — нарушение этого условия. Для нормализации числа в данном слу­чае следует повторять цикл сдвига цифровой части вле­во на один разряд (умножение на 2) с одновременным вычитанием единицы из порядка (деление на 2) до тех пор, пока не начнет выполняться условие нормализации.

Нормализацию можно осуществить сдвигом мантиссы вместе со знаком на один разряд вправо с одновремен­ным добавлением единицы к порядку.

При выполнении действий над числами с плавающей точкой определенные операции выполняются как над мантиссами, так и над порядками. Для упроще­ния операций над порядками их сводят к действиям над целыми положительными числами — без знака, приме­няя представление чисел с плавающей точкой со сме­щенным порядком. В случае представления числа с пла­вающей точкой со смещенным порядком к его порядку q прибавляется целое число — смещение

М = 2^k, где k — число двоичных разрядов, используемых для моду­ля порядка. Смещенный порядок

q_см = q + М

будет всегда положительным. Для его представления необходимо такое же число разрядов, как и для модуля и знака порядка q. Важная особенность смещенных по­рядков состоит в том, что если для порядков p₁ и p₂, представляющих собой целые числа со знаками, выпол­няется соотношение p₁ > p₂, то и для положительных це­лых чисел соответствующих смещенных порядков p_{1 см} и р_{2 см} также будет выполняться соотношение р_{1 см} > р_{2 см}.

Точность вычислений при представлении чисел с плавающей точкой определяется числом разрядов ман­тиссы. При фиксированном числе разрядов мантиссы любая величина мантиссы представляется с наиболее возможной точностью нормализованным числом.

Диапазон представимых чисел при использовании форм записи с фиксированной и плавающей точками в случае одной и той же системы счисления и при рав­ном количестве разрядов, используемых для записи чи­сел, будет различным. Диапазон чисел, представимых в n разрядах в представлении с фиксированной точкой,

P^m < | N | < р^l — р^m при l + m = n,

где l — число разрядов, отведенных для представления целой части числа; m — число разрядов, используемых для записи дробной части.

При использовании формы записи числа с плавающей точкой диапазон представимых чисел будет

P ^{- pn} < N < ( 1 — p^-m) p^pn

где q — количество разрядов, отводимых для записи по­рядка, а m — для записи мантиссы.

Из сравнения этих двух соотношений вытекает, что при одинаковом числе разрядов форма представления числа с плавающей точкой обеспечивает более широкий диапазон чисел.