Собственные затухающие колебания

До сих пор мы рассматривали колебательные процессы в системах, где действовала одна единственная сила — упругая или квазиупругая («как упругая»). Уравнение такого движения записывается просто:

.

Теперь введём в систему ещё одну силу — силу вязкого сопротивления, пропорциональную скорости движения:

.

Здесь r — коэффициент сопротивления. Знак минус означает, что сила сопротивления и скорость всегда направлены противоположно.

Закон движения — второй закон Ньютона — теперь примет такой вид:

.

В стандартном виде его записывают так:

. (13.7)

Это основное уравнение динамики гармонического осциллятора с вязким трением. Решением этого уравнения является гармоническая функция (рис. 13.3):

. (13.8)

Рис. 13.3

Амплитуда колебаний осциллятора с вязким сопротивлением убывает со временем по экспоненциальному закону:

. (13.9)

Здесь d = — коэффициент затухания.

Частота затухающих колебаний w отличается от частоты собственных незатухающих колебаний w₀:

.

Вычислим время – t, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в e раз (e = 2.718 — основание натурального логарифма). При таком уменьшении амплитуды — почти в 3 раза — условно принято считать, что процесс «затух» и система вернулась к положению равновесия.

.

Отсюда следует, что время релаксации t обратно пропорционально коэффициенту затухания d:

(13.10)

Важной характеристикой затухающих колебаний является логарифмический декремент затухания d, равный логарифму отношения амплитуд двух соседних колебаний:

. (13.11)

Численно логарифмический декремент затухания равен произведению коэффициента затухания на период колебаний.

Величина, с точностью до множителя p обратная декременту затухания, называется добротностью осциллятора:

. (13.12)

Подсчитаем число колебаний, которое система совершает за время релаксации t.

.

Отсюда следует, что добротность осциллятора с точностью до p равна числу колебаний, за которое амплитуда падает в e раз.

Q = pN_t.

Можно показать, что добротность осциллятора напрямую связана с энергетическими потерями в системе:

. (13.13)

Здесь: Е — энергия осциллятора;

DЕ — убыль энергии за одно полное колебание (за период).