Энергия гармонического осциллятора
Собственные незатухающие колебания возникают в системе при выполнении двух условий: во-первых, при смещении из положения равновесия должна возникать возвращающая сила, пропорциональная смещению (упругая или квазиупругая), и, во-вторых, в системе должны отсутствовать диссипативные силы.
Запустить колебание можно по-разному, но в любом случае эта операция означает сообщение системе некоторого запаса энергии. Далее в процессе колебания эта энергия будет переходить из потенциальной в кинетическую и обратно, но сумма этих энергий в любой момент времени должна быть неизменно равной начальной механической энергии.
Обратимся к конкретному осциллятору — пружинному маятнику (рис. 13.1).
Рис. 13.1
Колебание груза массой m происходит по гармоническому закону:
x = a Cos (wt + a). (13.1)
Скорость груза меняется по закону синуса:
. (13.2)
Вычислим механическую энергию маятника в произвольный момент времени t:
Eмех = Ек + U.
Здесь: — кинетическая энергия груза,
U = — потенциальная энергия деформированной пружины.
(13.3)
(13.4)
В последнем выражении мы учли, что , то есть .
Кинетическая и потенциальная энергии осциллятора меняются с частотой, вдвое превышающей частоту колебаний маятника — w0 (рис. 13.2). И та и другая составляющие механической энергии осциллируют во времени. А их сумма?
(!). (13.5)
Их сумма остается неизменной в любой момент времени. Этот результат можно было бы предсказать a priori: ведь в процессе собственных незатухающих колебаний выполняется закон сохранения механической энергии.
Рис. 13.2
Легко видеть, что уравнение (13.5) выражает механическую энергию системы через максимальную кинетическую, когда потенциальная энергия равна нулю. В этот момент груз проходит с максимальной скоростью положение равновесия.
Но эту же механическую энергию можно связать и с максимальной потенциальной энергией — в точке амплитудного отклонения маятника, где v = 0 и Ек = 0.
. (13.6)
Здесь k = , поэтому
.
Максимальная потенциальная энергия (Umax) незатухающего осциллятора равна его максимальной кинетической энергии и обе они равны полной механической энергии (Емех) системы, которая в процессе колебаний остается неизменной.
Дата добавления: 2021-01-11; просмотров: 369;