Вынужденные колебания. Резонанс. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний
Рассмотрим колебания, которые поддерживаются в системе внешней гармонической силой F = F0Coswt. Такие колебания называются вынужденными.
Обратимся вновь к пружинному маятнику. Вспомним уравнения движения этого осциллятора:
— уравнение собственных незатухающих колебаний. В системе действует одна упругая сила Fупр = –kx;
— собственные затухающие колебания. В системе появилась сила вязкого сопротивления, пропорциональная скорости .
В случае вынужденных колебаний кроме двух названных сил — упругой и силы сопротивления, на систему действует ещё одна сила: F = F0Coswt.
— дифференциальное уравнение вынужденных колебаний пружинного маятника. Это уравнение движения принято записывать так:
.
Введя знакомые обозначения и , представим уравнение движения осциллятора окончательно в таком виде:
. (13.14)
Опыт показывает, что под действием гармонического возмущающего усилия F = F0Coswt осциллятор совершает гармонические колебания с частотой вынуждающей силы w:
х = ACos(wt + a). (13.15)
Если частота w известна, то задача сводится к определению амплитуды вынужденных колебаний А и начальной фазы a.
Продифференцировав функцию (13.15), подставим ее в уравнение (13.14):
.
Теперь воспользуемся известными тригонометрическими формулами для косинуса и синуса суммы двух углов:
Это уравнение представляет собой сумму двух гармонических слагаемых
а Cos wt + b Sin wt = 0.
Последнее равенство возможно в единственном случае, если постоянные во времени a и b равны нулю: а = 0, b = 0. Это означает, что справедливы следующие уравнения:
, (13.16)
. (13.17)
Эти два уравнения содержат только две неизвестные величины: амплитуду А и фазу a вынужденного колебания. Для отыскания амплитуды А можно домножить уравнение (13.16) на , а уравнение (13.17) — на Cosa. Вычтя теперь из первого уравнения второе, получим Sina:
,
. (13.18)
Воспользовавшись этим результатом в уравнении (13.17), найдем Cosa:
. (13.19)
Возведем уравнения (13.18) и (13.19) в квадрат и сложим:
Последнее уравнение решим относительно искомой амплитуды колебаний А:
. (13.20)
Фазовый сдвиг смещения x относительно возмущающего усилия F найдём непосредственно из уравнения (13.17):
. (13.21)
Обратимся к анализу полученных результатов.
1) Амплитуда вынужденных колебаний прямо пропорциональна амплитуде возмущающего усилия F0.
2) Если w = 0 — случай приложения статической нагрузки F0, смещение груза будет определяться жёсткостью пружины k:
.
3) При высоких частотах внешнего усилия (w→¥), амплитуда колебаний А→0.
4) Для отыскания частоты wрез, при которой амплитуда достигает наибольшего значения Арез, нужно найти минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе уравнения (13.20). Продифференцировав это выражение по w, и приравняв результат нулю, получим условие, определяющее wрез:
.
Отсюда следует, что резонансная частота wрез меньше частоты собственных незатухающих колебаний w0:
. (13.22)
Используя это значение в (13.20), рассчитаем резонансную амплитуду:
. (13.23)
5) Если вязкое сопротивление отсутствует, коэффициент затухания d = = 0 и резонансная амплитуда устремляется в бесконечность. При этом условии резонансная частота, как следует из (13.22), равна частоте собственных незатухающих колебаний осциллятора wрез = w0.
6) С увеличением коэффициента затухания d, резонансная частота и амплитуда колебаний уменьшаются.
Все эти закономерности графически представлены на рис. 13.4.
Рис. 13.4
7) При слабом затухании, когда , резонансная амплитуда равна
.
Разделим это выражение на — смещение под действием постоянной силы:
.
Таким образом, добротность осциллятора численно равна отношению резонансной амплитуды к смещению под действием постоянной силы.
8) На рис. 13.5 представлена зависимость фазового сдвига вынужденных колебаний и вынуждающей силы — график функции (13.21). С увеличением частоты вынуждающего усилия a растет, меняясь от 0 до p. В резонансе фазовый сдвиг равен . Эта зависимость a = a(w) меняется с изменением коэффициента затухания.
Рис. 13.5
Дата добавления: 2021-01-11; просмотров: 425;