Системы массового обслуживания с отказами

Классическая система массового обслуживания с отказами (система Эрланга)

Постановка задачи. На вход n-канальной СМО подается простейший поток заявок с интенсивностью λ. Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала обозначим μ. Если заявка застала все n каналов занятыми, то она получает отказ (покидает систему не обслуженной). Если заявка застала свободным хотя бы один канал, то она принимается к обслуживанию любым из свободных каналов и обслуживается до конца (заявки «терпеливые»).

Описанная выше система названа нами классической потому, что с рассмотрения такой системы Эрлангом и начала развиваться теория массового обслуживания. Эрланг рассматривал работу такой системы на примере работы автоматического телефонного узла связи. В этом случае поток заявок представляет собой поток вызовов со стороны абонентов. Длительность обслуживания характеризуется длительностью коммутации и длительностью разговора. Число каналов n равняется максимально возможному числу одновременно осуществляемых разговоров.

Анализ работы СМО начнем с рассмотрения возможных состояний системы и составления размеченного графа состояний с указанием интенсивностей потоков, переводящих систему из одного состояния в другое.

Рассмотрим следующее множество состояний системы:

x₀ – все каналы свободны, ни одна заявка не обслуживается;

x₁ – занят ровно один канал (какой – не важно), обслуживается одна заявка;

x_k – занято ровно k каналов (каких именно – не важно), обслуживается k заявок;

x_n – все n каналов заняты, обслуживается n заявок.

Граф состояния данной СМО с отказами в обслуживании представлен на рис. 3.6.

Рис. 3.6. Граф состояний СМО с отказами в обслуживании

Как и в § 3.3, возможность перескока «через состояние» не рассматривается, т.к. все потоки ординарные. Поясним порядок определения интенсивностей потоков событий на рис. 3.6. Когда система находится в состоянии x₀, на нее действует поток заявок с интенсивностью λ, переводящий систему в состояние x₁. Если система находится в состоянии x₁, то на нее действует уже два потока событий: а) поток заявок с интенсивностью λ, который стремится перевести систему в состояние x₂; б) поток освобождений канала («поток обслуживаний»), который стремится перевести систему в состояние x₀. Интенсивность этого потока равна μ.

Рассмотрим случай, когда система находится в состоянии x_k (k = 1, 2, ... , n–1). В этом состоянии на систему действует также два потока: а) поток заявок с интенсивностью λ, который стремится перевести систему в состояние x_k+1; б) поток освобождений всех занятых каналов с интенсивностью kμ, который стремится перевести систему справа налево в состояние x_k–1.

Если система находится в состоянии x_n, то на нее действует только один поток событий с интенсивностью nμ, переводящий систему справа налево в состояние x_n–1.

Система уравнений имеет следующий вид:

,

............................................

, k = 1,2,…, n–1, (3.10)

............................................

.

Система (3.10) интегрируется при следующих начальных условиях:

Р₀(0) = 1; Р_k(0) = 0 (k = 1,2, ... , n),

что соответствует случаю, когда система в начальный момент времени t = 0 свободна. Решение системы (3.10) при данных начальных условиях удовлетворяет нормировочному условию

(t ≥ 0). (3.11)

Уравнения (3.10) называются уравнениями Эрланга. Заметим, что (3.10) и (3.11) справедливы и для случая, когда потоки событий не являются простейшими, а представляют собой нестационарные пуассоновские потоки. В этом случае параметры λ = λ(t) и μ = μ(t).

Рассмотрим стационарный режим работы при t → ∞. Такой режим существует (см. § 3.3), т.к. рассматриваемая система эргодична. Поэтому при t → ∞ система (3.10) превращается в систему алгебраических уравнений:

0 = –λ Р₀ + μР₁,

.……………..

0 = –(λ + kμ)Р_k + λР_k–1+ (k + 1)μ Р_{k +1} (k = 1,2, ... , n–1),

.…………….

0 = + λР_n–1 – nμ Р_n = 0,

которую нужно решать совместно с (3.11).

Введем обозначение:

u_i = –λP_i–1 + iμ Р_i (k = 1,2, ... , n),

тогда

u₁ = 0,

……...

u_k+1 – u_k = 0 (k = 1,2, ... , n–1), (3.12)

……...

u_n = 0.

Анализируя (3.12), убеждаемся в том, что u_i = 0. Следовательно,

; ; ; .