Виды распределения входящего потока и времени обслуживания

Для теории массового обслуживания особый интерес представляют случайные процессы марковского типа (см. раздел 2). При помощи марковских процессов с конечным или счетным множеством состояний описываются процессы массового обслуживания в системах весьма широкого класса с максимальными аналитическими предпосылками: появление заявок и окончание обслуживания заявок, имеющихся в системе, не должно зависеть от предшествующей истории. А если процесс, протекающий в системе, является марковским с непрерывным временем, то все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими [13]. Для пуассоновских систем вероятности состояний описываются с помощью обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Если не делать предположения о том, что процесс, протекающий в системе массового обслуживания, является марковским, то аналитическое исследование работы такой системы требует при вычислении более сложного математического аппарата. В большинстве задач прикладного характера замена не пуассоновских потоков событий пуассоновскими с теми же интенсивностями приводит к получению решения, которое мало отличается от полученного [8].

Однако, как указано в работах [13, 14], имеются особые условия, когда погрешность может достигать значительной величины. В связи с этим приходится использовать случайные процессы более сложного характера. Общей тенденцией при этом является нахождение такого случайного процесса, связанного с процессом обслуживания, который можно было бы рассматривать как марковский процесс. Один из наиболее выдающихся специалистов в области теории массового обслуживания Д. Кендалл предложил использовать метод вложенных цепей Маркова [15]. Вложенная цепь Маркова – это последовательность значений процесса в специально выбранные моменты времени. Вложенную цепь Маркова можно определить в том случае, если моменты времени образуют сложную статическую связь, которую нельзя описать цепью Маркова. Важным случаем является полумарковский процесс [11], а дальнейшим развитием – линейчатые процессы [13]. В дальнейшем рассмотрим решения для пуассоновских и непуассоновских систем.

В работах [7–9, 11, 13, 14] исследовались системы массового обслуживания, на которые поступал входной поток заявок с некоторой интенсивностью, причем эта интенсивность не зависела от состояния СМО, а сами источники находились вне системы и не рассматривались. Такие СМО называются разомкнутыми или открытыми. Значительный интерес представляют так называемые замкнутые системы [11, 13], где интенсивность потока заявок зависит от состояния СМО, а сами источники заявок являются не внешними, а внутренними элементами СМО. Такие системы характерны, например, для области аналого-цифрового преобразования. В них измеряемый входной сигнал канала, находясь на обслуживании (измерении), перестает подавать заявки, а после конца обслуживания снова становится источником заявок. Моделью указанного входного потока является поток Бернулли (см. раздел 2, [11, 16]).