Примеры решения задач. Определить вероятность p того, что время ожидания пассажиром очередного поезда не привысит 1,5 мин

Пример 2.1. Моменты прибытия вагонов метро на остановку образуют поток, приближенно являющийся потоком Пальма, причем интервал T между поездами подчинен закону равномерной плотности с характеристиками m_t = 2 мин, s_t = 0,05 мин. Определить вероятность p того, что время ожидания пассажиром очередного поезда не привысит 1,5 мин, если пассажир приходит на станцию, не зная расписания движения поездов.

Решение

Плотность распределения времени ожидания q определяется следующей формулой:

,

где F(b) – функция распределения случайной величины Т, которая имеет вид

Величины a и b находим из условия

откуда а = 1,91; b = 2,09.

Следовательно,

.

Пример 2.2. Производится воздушная разведка подвижной цели. Установлено, что время пребывания цели на одном месте подчинено следующему показательному закону:

где величины а и a положительны, а 1(х) – известная единичная функция.

Кривая распределения имеет вид, показанный на рис. 2.1. Удар по разведанной цели может быть произведен лишь по истечении времени t₁ после обнаружения цели разведчиком. Определить вероятность того, что к моменту нанесения удара t₁ цель останется на месте ее обнаружения разведчиком, если противник не имеет сведений о действиях разведчика.

Рис. 2.1. Функция распределения к примеру 2.2

Решение

Условия задачи не изменятся, если считать, что цель на каждом месте находится случайное время Т, имеющее плотность распределения f(t). Таким образом, можно рассматривать некоторый стационарный поток Пальма с интервалом Т между соседними событиями, который условно можно назвать потоком уходов цели с места ее обнаружения.

Обнаружение цели можно рассматривать как падение случайной точки S на некоторый интервал этого потока. Следовательно, время пребывания цели на месте ее обнаружения n будет иметь плотность распределения

,

где .