Гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли).
Сечения плоские до и после деформации, они только поворачиваются относительно некоторой линии, которая называется нейтральной осью балки (НО). При этом волокна балки, лежащие с одной стороны от нейтральной оси будут растягиваться, а с другой – сжиматься; волокна, лежащие на нейтральной оси своей длины не изменяют;
2) Гипотеза о постоянстве нормальных напряжений. Напряжения, действующие на одинаковом расстоянии у от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;
3) Гипотеза об отсутствии боковых давлений. Соседние продольные волокна не давят друг на друга.
Связь между внутренними усилиями и нормальными напряжениями в сечении балки найдем из рассмотрения напряжений в элементарной площадке dF, выделенной в поперечном сечении F балки в точке с координатами у и z (ось y для удобства анализа направлена вниз):
, следовательно , поэтому
; (6.10)
, следовательно , поэтому
; (6.11)
, следовательно , поэтому
; (6.12)
Как видим, неизвестен характер распределения нормальных напряжений по сечению. Для решения задачи рассмотрим геометрическую картину деформаций.
Рассмотрим деформацию элемента балки длиной dx, выделенного из изгибаемого стержня в произвольной точке с координатой x. Учитывая принятую ранее гипотезу плоских сечений, после изгиба сечения балки повернутся относительно нейтральной оси (НО) на угол , при этом волокно ab, отстоящее от оси на расстояние у, превратится в дугу окружности a1b1, а его длина изменится на некоторую величину.
Здесь напомним, что длина волокон, лежащих на нейтральной оси, не изменяется а потому дуга a0b0 (радиус кривизны которой обозначим ), имеет ту же длину, что и отрезок a0b0 до деформации: a0b0=dx.
Найдем относительную линейную деформацию , волокна ab изогнутой балки: , следовательно
(6.13)
Учитывая, что, в соответствии с гипотезой об отсутствии боковых давлений, запишем закон Гука для изгиба в виде:
(6.14)
Из формулы для относительной линейной деформации с учетом закона Гука получим закон распределения нормальных напряжений по сечению балки:
. (6.15)
Подставляя это выражение в каждое из уравнений равновесия, имеем следующие соотношения:
, следовательно , отсюда
; (6.16)
, следовательно , отсюда
; (6.17)
, следовательно , отсюда
. (6.18)
Из анализа (6.16) и (6.17) следует, что оси у и z являются главными осями сечения, а нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения.
Из (6.18) получим формулу для определения кривизны бруса при изгибе
, (6.19)
Используя это выражение, получим формулу определения нормальных напряжений при изгибе:
.(6.20)
Из анализа полученного уравнения следует, что нормальные напряжения при изгибе равны нулю в точках, лежащих на нейтральной оси, и достигают экстремальных значений на поверхности балки, при .
Максимальные нормальные напряжения при изгибе найдем по формуле:
,(6.21)
где Wz – осевой момент сопротивления
. (6.22)
Таким образом, в случае изгиба условие прочности по нормальным напряжениямможет быть записано в следующем виде (для материала балки, одинаково сопротивляющегося растяжению-сжатию):
.(6.23)
Дата добавления: 2016-09-26; просмотров: 6257;