Нагрев массивных тел. Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье

В отличие от тонких тел нагрев массивных характеризуется тем, что тепловая волна проникает вглубь не сразу, косвенно. Послойное включение материала в нагрев объясняется не бесконечной (как в тонких телах), а конечной скоростью распространения тела.

Время, в течение которого тепловая волна достает самого удаленного слоя материала, называется инерционным (иррегулярным). При одностороннем нагреве таким слоем является противоположная поверхность тела, а при симметричном двустороннем – его центр.

Максимальная разность Т между поверхностью и центром принято считать перепад температур . По истечении некоторого времени наступает регулярный (упорядочный) тепловой режим, при котором различные точки подчиняются единым законам.

При нагреве массивного тела необходимо знать распределение величин Т в нем, или как мы сказали температурное поле, обусловленное внешним тепловым режимом.

Определение температурного поля становится возможным, если известны математические зависимости между температурой, временем и пространственными координатами в любом элементарном объеме материала. Связь между этими зависимостями устанавливается дифференциальным уравнением теплопроводности. При этом считают, что твердое тело однородно и изотропно, его теплофизические параметры и агрегатное состояние не изменяются, а также внутренние источники теплоты в нем отсутствуют.

Давайте выведем дифференциальное уравнение теплопроводности в общем, виде.

Выделим в нагревательном теле элементарный параллепипед с гранями dx, dy, dz.

В соответствии с законом сохранения энергии, разность между количеством тепла подводимого в элементарный объем за время dt и убывающего из него за то же время, равна изменению его энтальпии.

Через грань dy dz поступает количество тепла

(1)

а уходит через противоположную грань

, (2)

где q_x, q_x+dx – плотность потока, соответственно подводимого и отводимого в направлении оси Х.

Плотность теплового потока в этой грана находится путем разложения в ряд Тейлора

Найдем разность между количеством тепла, поступившим в параллепипед и вышедшем из него в направлении оси Х: из (1) – (2)

; (3)

Аналогично определяются соответствующие величины для осей Y и Z:

; (4)

; (5)

Оставшееся в элементарном объеме количество тепла, расходуемое на изменение энтальпии тепла равно:

; (6)

С учетом, что – получаем:

; (7)

Составим баланс тепла в элементарном объеме:

Уравнение (7) приравняем к уравнениям (3), (4), (5)

; (8)

Согласно закону Фурье:

Тогда формула (8) запишется так (разделив также правую часть на r с):

; (9)

Вводят оператор Лапласа Ѳ ²набла²: и зная, что – коэффициент температуропроводности, мы получим дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье в компактной форме:

Коэффициент температуропроводности а м²/с, (в условиях нестационарных процессов) характеризует теплоинерционные свойства тепла. Чем больше а, тем выше скорость изменения (параметров) Т в любой точке тела и тем быстрее перестраивается его температурное поле.

Для различных веществ значение а м²/с, как и l, зависит от структуры, плотности, влажности, давления и температуры.

Таким образом, дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье устанавливает зависимость между температурой, временем и пространственными координатами в любой элементарном объеме нагреваемого материала. Выше приведенное уравнение Фурье записано в общем виде.

Уравнение Фурье можно записать в иных системах координат. Так, для цилиндра бесконечно малой длины при симметричном относительно оси распределении температур уравнение имеет вид:

.

Для тел сферической формы

где r – радиус цилиндра или шара.

При одномерных температурных полях то же уравнение для простейших форм тела имеет вид:

,

где k₁ – коэффициент формы тела.

Мы отметили, что дифференциальное уравнение Фурье имеет бесконечное множество решений. Для получения единственного решения (применительно к конкретному случаю) необходимо кроме основного дифференциального уравнения Фурье задать дополнительные условия.

В условия однозначности входят:

геометрические условия, определяющие форму и размеры тела;

физические условия, т. е. физические параметры и свойства тела – l, r, С_р;

начальные условия, т. е. распределение температуры в объеме тела в некоторый момент времени, принятый за начало отсчета, t=0;

граничные условия, характеризующие тепловое взаимодействие окружающей среды с поверхностью тела, т. е. связь внешнего теплообмена в рабочем пространстве, с внутренним.

Начальное распределение температур показывает t⁰ состояние тела перед тем, как начался процесс нагрева и может быть различным. Наиболее простой случай имеющий практическое значение – одинаковое значение Т по всему объему: .

Например: это нагрев или охлаждение металла после стационарного режима.

Во многих задачах используется начальное параболическое распределение t⁰ по объему тела:

где Т_ц.о – температура центра в начальный момент времени;

DТ₀ – нач. перепад t по сечению тела (нагрев или охлаждение предварительно разогретого металла).

Граничные условия можно задавать различными способами и на них влияет характер взаимодействия поверхности тела с окружающей средой.

1. Граничные условия первого рода (первая краевая задача).

В этом случае задается распределение t по всей поверхности тела и изменение этого распределения во времени, т. е. задается функция: Т_пов.=f(х, у, z, t).

Примером граничных условий первого рода является линейное изменение t⁰ поверхности во времени:

где С_н – скорость нагрева.

К описанному условию можно отнести задачу разогрева кладки печи или задачу нагрева (охлаждения) тел при термообработке с заданной скоростью.

Другим примером граничных условий первого рода является постоянство температуры поверхности:

Это задачи нагрева или охлаждения с мгновенным повышением (снижением) t⁰_пов. Тела (закалка, выдержка, томление металла).

2. Граничные условия второго рода (вторая краевая задача).

В этом случае задается распределение плотности теплового потока q по всей поверхности тела и изменение этого распределения во времени.

где n – координата, направленная к поверхности тела.

Таким образом, задание граничных условий второго рода – это задание величины градиента t⁰ на поверхности тела .

Часто принимают, что q=const – постоянный во времени и по всей поверхности тела.

Встречается в металлургических и камерных печах граничные условия третьего рода (смешанная краевая задача).

В этом случае задаются t⁰ окружающей среды или внешнего источника тепла Т₀ и закон теплообмена между средой и поверхностью тела.

Граничные условия часто третьего рода – часто встречаются на практике.

По существу задаемся некоторая связь между известной t⁰ окружающей среды (внешнего источника тепла) и неизвестными t⁰ поверхности тела и градиентом температур на поверхности.

Например, если внешний теплообмен осуществляется путем конвективной теплоотдачи, то плотность теплового потока, подводимого к поверхности тела, выражается формулой Ньютона:

где T₀ – t⁰ окружающей среды;

Т_пов. – t⁰ поверхности тела.

С другой стороны плотность теплового потока на поверхности тела q может быть выражена постулатом или формулой Фурье:

где n – координата, направленная по нормам к поверхности тела.

Приравнивая правые части уравнений, на основании закона сохранения энергии, получим математическую формулировку граничных условий третьего рода:

;

Частный случай Т₀=const или Т_печ.= const; – нагрев заготовки в печи при постоянной температуре. На практике при нагреве металла производят сочетание граничных условий нагрева. Например вначале нагрев при q_.= const, а заканчивать нагрев при t_печ=_.const.

Лекция 14: