Применение теоремы Гаусса к расчету полей

Найдем напряженность электрического поля

1. бесконечной нити, заряженной с линейной плотностью заряда (рис.1).

Построим гауссову поверхность в виде цилиндра, ось которого совпадает с нитью

Радиус цилиндра r, высота h .

В силу симметрии рассматриваемого поля линии вектора напряженности расходятся радиально от нити, и поток вектора отличен от нуля только через боковую поверхность цилиндра:

Очевидно, на одинаковом расстоянии r от нити значения Е будут одинаковы, поэтому

Согласно теореме Гаусса

где - заряд, заключенный внутри гауссова цилиндра.

Тогда

и - напряженность поля заряженной нити на расстоянии r от нее.

бесконечной однородной заряженной плоскости.

Поверхностная плотность заряда во всех точках плоскости одинакова .

Напряженность поля перпендикулярна к плоскости.

В симметричных относительно плоскости точках напряженность поля одинакова по величине и противоположна по направлению.

Выделим цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными к плоскости, и основаниями .

В силу симметрии .

Поток через боковую поверхность равен нулю, так как ,

таким образом суммарный поток через поверхность цилиндра равен , и

созданное двумя разноименно заряженными плоскостями

с поверхностными плотностями заряда и .

Очевидно,

напряженности полей плоскостей направлены в одну сторону (от положительной плоскости к отрицательной, рис.3),

и результирующая напряженность ,

где - напряженность поля одной заряженной плоскости.

Окончательно получаем

создаваемого заряженной сферой радиуса R.

Заряд сферы q, его поверхностная плотность

Для определения напряженности построим гауссову поверхность в виде сферы радиуса r, центр которой совпадает с центром заряженной сферы.

· При r≤Rвнутри гауссовой поверхности зарядов нет, так как весь заряд распределен по поверхности сферы.

По теореме Гаусса или ,

следовательно, - напряженность электрического поля внутри заряженной сферы равна нулю.

· При внутрь гауссовой поверхности попадает весь заряд q сферы.

В силу центральной симметрии поля напряженность на расстоянии r от центра сферы всюду одинакова, и

или

при этом ,

тогда ,

и

С ростом r значения Е убывают пропорционально (рис.6).

На поверхности сферы напряженность испытывает скачек

созданное объемно заряженным шаром радиуса R .

Объемная плотность заряда шара ρ.

Гауссову поверхность построим в виде сферы, центр которой совпадает с центром шара, а радиус равен r (рис.7).

· При внутрь гауссовой поверхности попадает заряд ,

тогда по теореме Гаусса , и .

На поверхности шара при r=R напряженность .

· При внутрь гауссовой поверхности попадает весь заряд , и , отсюда

· На поверхности сферы т.е. и скачка напряженности не происходит.

· Зависимость представлена на рис.7.

Лекция 2

ТЕОРЕМА ГАУССА

1.6. Густота линий напряженности .

<2 3 4 5 6 78>

Дата добавления: 2020-12-11; просмотров: 440;