Применение теоремы Гаусса к расчету полей
Найдем напряженность электрического поля
1. бесконечной нити, заряженной с линейной плотностью заряда (рис.1).
Построим гауссову поверхность в виде цилиндра, ось которого совпадает с нитью
Радиус цилиндра r, высота h .
В силу симметрии рассматриваемого поля линии вектора напряженности расходятся радиально от нити, и поток вектора отличен от нуля только через боковую поверхность цилиндра:
Очевидно, на одинаковом расстоянии r от нити значения Е будут одинаковы, поэтому
Согласно теореме Гаусса
где - заряд, заключенный внутри гауссова цилиндра.
Тогда
и - напряженность поля заряженной нити на расстоянии r от нее.
- бесконечной однородной заряженной плоскости.
Поверхностная плотность заряда во всех точках плоскости одинакова .
Напряженность поля перпендикулярна к плоскости.
В симметричных относительно плоскости точках напряженность поля одинакова по величине и противоположна по направлению.
Выделим цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными к плоскости, и основаниями .
В силу симметрии .
Поток через боковую поверхность равен нулю, так как ,
таким образом суммарный поток через поверхность цилиндра равен , и
- созданное двумя разноименно заряженными плоскостями
с поверхностными плотностями заряда и .
Очевидно,
напряженности полей плоскостей направлены в одну сторону (от положительной плоскости к отрицательной, рис.3),
и результирующая напряженность ,
где - напряженность поля одной заряженной плоскости.
Окончательно получаем
- создаваемого заряженной сферой радиуса R.
Заряд сферы q, его поверхностная плотность
Для определения напряженности построим гауссову поверхность в виде сферы радиуса r, центр которой совпадает с центром заряженной сферы.
· При r≤Rвнутри гауссовой поверхности зарядов нет, так как весь заряд распределен по поверхности сферы.
По теореме Гаусса или ,
следовательно, - напряженность электрического поля внутри заряженной сферы равна нулю.
· При внутрь гауссовой поверхности попадает весь заряд q сферы.
В силу центральной симметрии поля напряженность на расстоянии r от центра сферы всюду одинакова, и
или
при этом ,
тогда ,
и
С ростом r значения Е убывают пропорционально (рис.6).
На поверхности сферы напряженность испытывает скачек
- созданное объемно заряженным шаром радиуса R .
Объемная плотность заряда шара ρ.
Гауссову поверхность построим в виде сферы, центр которой совпадает с центром шара, а радиус равен r (рис.7).
· При внутрь гауссовой поверхности попадает заряд ,
тогда по теореме Гаусса , и .
На поверхности шара при r=R напряженность .
· При внутрь гауссовой поверхности попадает весь заряд , и , отсюда
· На поверхности сферы т.е. и скачка напряженности не происходит.
· Зависимость представлена на рис.7.
Лекция 2
ТЕОРЕМА ГАУССА
1.6. Густота линий напряженности .
Дата добавления: 2020-12-11; просмотров: 447;