Устойчивость стержней за пределами упругости

Все, изложенное до сих пор, справедливо при условии, что выполняются все принятые гипотезы и, в частности, гипотеза о том, что как в докритическом состоянии, так и в момент потери устойчивости, т.е. при выпучивании материал остается идеально и линейно упругим. Однако, у грамотно спроектированного стержня критические напряжения должны быть близки к . Тогда они будут превышать предел пропорциональности , и, следовательно, полученные формулы будут уже несправедливы.

Эксперименты показывают, что отклонения от , незначительные при , становятся при существенными и имеют значительный разброс. Нестабильность результатов объясняется разбросом физических свойств материала образцов за пределами упругости.

Парабола на рис.12.1 соответствует формуле Эйлера

. (12.1)

Величину

,

где - радиус инерции, называют “гибкостью” стержня.

За пределами пропорциональности иногда аппроксимируют полуэмпирически с помощью различных формул. Например (Рис.12.2)

подбирая константы экспериментально.

Рассмотрим теоретические подходы к оценке при известной диаграмме .

Записав формулу Эйлера (12.1) в безразмерном виде

, (12.2)

мы фактически имеем критическое значение не силы, а деформации. По этому значению находим на диаграмме точку, соответствующую моменту потери устойчивости. Однако, значение с этой диаграммы непосредственно снять нельзя, поскольку формула (12.2) получена в предположении о линейности диаграммы.

При выпучивании стержня его поперечное сечение по одну сторону от нейтральной оси догружается, а по другую - разгружается. Следовательно, модули упругости материала в этих зонах могут быть разными.

Догрузка в малой окрестности точки выпучивания на диаграмме будет происходить по касательной к кривой, а разгрузка по прямой, почти параллельной линейному участку. Соответствующие модули называют “касательным” - и “секущим” - .

Даже если считать, что разгрузка и догрузка происходят с , т.е. предположить материал нелинейно, но идеально упругим, то замена в формуле Эйлера на даст cущественное уточнение результата, которым можно ограничиться. Если же учесть разницу и , то ясно, что точки, не испытывающие изгибных напряжений, будут лежать на оси, уже не проходящей через центр масс сечения.

Предположим, что напряженно-деформированное состояние по всей длине стержня имеет одну и ту же картину (рис.12.4). Вообще говоря, это не так, ибо max напряжения по длине переменны.

Предположим также, что в процессе выпучивания нагрузка, прикладываемая к стержню, не меняется.

Тогда закритические изгибные напряжения должны давать нулевую результирующую силу

Здесь и изгибные напряжения, действующие в зоне догрузки и разгрузки . Считая, что сечение остается плоским, имеем

,

где - радиус кривизны стержня, - расстояние до закритической нейтральной оси.

Тогда

В итоге имеем

, (12.3)

где - статические моменты догруженной и разгруженной зон относительно смещенной нейтральной оси. Соотношение (12.3) служит для определения .

Очевидно, что величина будет зависеть от формы поперечного сечения.

Оценим влияние формы поперечного сечения на величину на двух примерах.

I. Пусть сечение имеет форму двутавра с настолько тонкой стенкой, что напряжениями в ней можно пренебречь. Тогда расчетная модель сечения будет иметь вид, изображенный на рис.12.5.

В этом случае

и из (12.3) имеем

. (12.4)

II. Для сплошного прямоугольного сечения высотой площадью будем иметь

и из (12.3)

. (12.5)

При реальных величина .

Пренебрегая в (12.5) величиной по сравнению с , имеем

. (12.6)

Определив положение нейтральной оси, можно найти внутренний изгибающий момент в сечении

. (12.7)

Введем обозначение для приведенного модуля

, (12.8)

где - центральный момент инерции сечения. С учетом (12.8) выражение (12.7) записывается в традиционном виде

.

Таким образом, для определения в формуле (12.1) модуль надо заменить на приведенный .