Закон сохранения количества движения и уравнение движения. Уравнения для скорости (сохранения количества движения) выведем сначала для идеальной жидкости (без вязкости).

Закон сохранения импульса для движущегося малого объема W жидкой частицы (с непроницаемыми стенками) есть

, (1.14)

где в правой части стоит сумма всех сил, действующих на выделенный объем, причем для простоты будем вначале предполагать, что внутренний приток массы отсутствует (M'=0). Ограничиваясь рассмотрением массовой силы Fm (например, центробежной или силы тяжести, действующих на единицу массы, [н/кг]) и сил давления P (действующих на единицу площади, [н/м2]), запишем

.

Учитывая, что (интеграл берется по жидкой частице, то есть по заданному количеству жидкости), и, преобразуя поверхностный интеграл давления в объемный, можно переписать уравнение в виде

. (1.15)

Это закон сохранения количества движения в интегральной форме.

Исходя из произвольного выбора объема жидкой частицы, можно перейти к дифференциальной форме:

. (1.16)

Это закон сохранения количества движения в форме Лагранжа.

Входящая в уравнение производная dV/dt – это субстанциональная производная, которая описывает изменение скорости жидкой частицы.

Используя связь субстанциональной (полной) производной по времени с частной производной скорости по времени (изменение скорости в заданной точке), полученную ранее, приходим к другой дифференциальной форме уравнения сохранения количества движения (форме Эйлера):

. (1.17)

Это уравнение Эйлера, оно получено им еще в 1755 г. Данное уравнение выражает закон сохранения количества движения (импульса).

В проекциях на оси декартовой системы это уравнение имеет вид

 

Запишем полученные уравнения движения в другой форме – в форме переноса импульса. Для этого выполним следующие преобразования, используя уравнение неразрывности:

, но ,

тогда и, следовательно,

. (1.18)

В декартовой системе координат эти уравнения имеют вид

или

 

Эти уравнения, как и в случае уравнения неразрывности, могут быть получены еще одним способом. Выделим в потоке движущейся массы фиксированный элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz и подсчитаем массу жидкости, протекающей через него за время dt.

Выделим в потоке газа или жидкости элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz. На выделенный объем действуют массовые силы (например, инерционные, гравитационные), поверхностные силы – давления и трения. Найдем проекции этих сил на ось х (рис.1.5):

а) массовые силы приложим в центре элемента объемом dw.

Ее проекция на ось х равна:

,

аналогично на другие оси;

 

 

Рис.1.5

 

б) сила давления. На левой грани элемента по оси x удельное давление равно Р, на площадку dydz действует сила Pdydz. На противоположной грани удельное давление равно , а на эту грань действует сила . Знак «–» указывает на то, что сила действует против направления оси х. Равнодействующая этих сил равна их алгебраической сумме:

.

Суммируя силы, получим проекцию на ось х равнодействующих всех сил, приложенных к объему dW:

. (1.19)

Согласно второму закону механики равнодействующая равна произведению массы элемента ρdW на его ускорение dVx /dt:

,

где - локальное, - конвективное изменение величины Vх , d/dt – субстанциальная производная:

. (1.20)

Приравнивая уравнения (1.19) и (1.20), получим:

.

Аналогично запишем уравнения для проекций сил на оси y и z:

Это уравнение движения. Его часто записывают в виде

В случае стационарности процесса первые члены уравнения будут равны нулю.

Рассмотрим теперь данный закон для реальной жидкости, учитывая вязкость (внутреннее трение). Начнем с рассмотрения уравнений движения для изотермической жидкости и еще раз напомним, что уравнение непрерывности справедливо и для реальной жидкости, так как его вывод основывался только на законе сохранения вещества. Воспользуемся уравнением, записанным в форме закона для переноса импульса идеальной жидкости, и допишем в него слагаемые, отвечающие за перенос импульса в результате действия вязких сил.

Главный вектор количества движения К системы материальных частиц равен интегралу от произведений их элементарных масс dm на векторы скоростей частиц V:

.

Применим к объему W массой m теорему об изменении главного вектора количества движения. Приравняв полную производную по времени от главного вектора количеств движения главному вектору внешних массовых F и поверхностных P сил, получим

, (13)

где pn – результирующая составляющая внутренних сил в газе (сил давления и напряжений вязкости), приложенная к поверхности S объема W.

Вычислим полную производную от главного вектора, причем для простоты будем вначале предполагать, что внутренний приток массы отсутствует (M'=0), тогда

. (1.22)

Чтобы преобразовать поверхностный интеграл в правой части (13) в объемный, перепишем его в виде:

,

где pх , py , pz – вектор напряжений, приложенный к положительным сторонам площадки, и применим формулы векторного анализа:

(1.23)

Тогда будем иметь

. (1.24)

Подставляя в (1.16) значения входящих в него величин и перенеся все члены в одну строку, получим

. (1.25)

Используя положение о произвольности объема W и приравнивая подынтегральную функцию нулю, получим

. (1.26)

Проектируя обе части равенства на направления осей координат, получим:

(1.27)

Эти уравнения динамики сплошной среды «в напряжениях», или «уравнения импульсов».

Cила трения на единицу поверхности по закону Ньютона

(μ – коэффициент динамической вязкости, Н×с/м2).

Подставив это выражение в предыдущее уравнение и принимая μ = const, получим

.

В общем случае, когда Vx изменяется по трем направлениям, проекция силы трения на ось х определяется выражением

.

Суммируя силы, получим проекцию на ось х равнодействующих всех сил, приложенных к объему dW:

. (1.28)

Получим уравнения движения с учетом вязкости, используя подход, изображенный на рис.1.5. Добавим силу трения, определив ее из рассмотрения плоского ламинарного потока, в котором скорость Vx изменяется лишь в направлении оси y. В этом случае сила трения s возникает лишь на боковых гранях элемента (рис.1.6).

 

Рис.1.6.

 

Около левой грани скорости движения частиц меньше, чем в самом элементе, поэтому здесь в сечении 'y' сила трения направлена против движения и равна – sdxdz. У правой грани скорость движения больше, чем в самом элементе, поэтому здесь в сечении 'y+dy' сила трения направлена в сторону движения и равна

.

Здесь – сила трения на единицу поверхности, по закону Ньютона.

Подставив это выражение в предыдущее уравнение и принимая μ = const, получим .

В общем случае, когда Vx изменяется по трем направлениям, проекция силы трения на ось х определяется выражением

.

Суммируя силы, получим проекцию на ось х равнодействующих всех сил, приложенных к объему dW:

. (1.29)

Используя вновь понятие субстанциальной производной

,

согласно второму закону механики получим:

Аналогично запишем уравнения для проекций сил на оси y и z (учитывая, что ):

Эти уравнения движения называют уравнениями Навье-Стокса. Дифференциальное уравнение движения в форме Навье-Стокса описывает движение вязкой сжимаемой жидкости или газа и справедливо как для ламинарного, так и для турбулентного движения.

В случае гипотезы “идеального газа” уравнения движения Навье - Стокса переходят в уравнения Эйлера:

(1.30)

В случае стационарности процесса первые члены уравнения будут равны нулю. Для двух- и одномерного движения уравнения Навье-Стокса и Эйлера соответствующим образом упрощаются.

Закон сохранения энергии. Закон сохранения энергии не только устанавливает неизменность всей энергии для любой выделенной массы жидкости или газа, но и отражает взаимопреобразование различных форм движения материи, и в первую очередь механической энергии в тепловую. Для расчета этих преобразований служит уравнение баланса энергии, выводимое из общего термодинамического закона сохранения энергии, который для индивидуального (непроницаемого) объема движущейся среды формулируется так:

– изменение полной энергии выделенного объема жидкости или газа за единицу времени равно сумме работ приложенных к нему массовых и поверхностных внешних сил на поверхностях, ограничивающих этот объем, и подведенного извне тепла за то же время.

Этот закон выражается интегральным равенством

(1.31)

где – удельная полная энергия; U = cvT – удельная внутренняя энергия; – результирующая массовых сил, – результирующая составляющая внутренних сил в газе (сил давления и напряжений вязкости), приложенная к поверхности S выделенного объема W; q – удельное количество энергии (обычно тепла), подводимое в единицу времени к рабочему телу в выделенном объеме.

Учитывая произвольность выделенного объема W, получаем дифференциальную форму данного закона:

(1.32)

Необходимость введения уравнения энергии следует из того, что два уравнения – неразрывности (скалярное) и движения (векторное) – содержат три неизвестных величины: одну векторную (скорость ) и две скалярные (давление р и плотность r), поэтому для газа (W=var) число искомых величин на одну больше, чем число уравнений. Если присоединить уравнение энергии, то добавится ещё одна неизвестная величина – температура Т. Система уравнений получиться замкнутой присоединением уравнения состояния, и тогда задача аэрогазодинамики (при заданных граничных и начальных условиях) становится определенной.

Если рассматривается идеальная несжимаемая жидкость, то полагают, что в жидкости отсутствуют теплообмен и трение. В таком случае движение адиабатично в каждой жидкой частице. Следовательно, закон сохранения энергии выливается в утверждение, что энергия каждого жидкого элемента остается постоянной:

Отсюда следует, что для описания движения идеальной несжимаемой жидкости уравнение энергии не используется.

 

 






Дата добавления: 2016-09-06; просмотров: 6971; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2021 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.02 сек.