ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

И РАВНОВЕСИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Распределение массы в сплошной среде. Закон сохранения массы и уравнение неразрывности. Возьмем малый объем жидкости или газа DW, содержащий внутри себя данную точку М пространства, и пусть масса этого объема будет Dm; скалярная величина r, определяемая предельным выражением

r=lim(Dm/DW), при DW ® 0, (1.5)

называется плотностью распределения массы или, короче, плотностью среды в данной точке М. Причем предполагается, что при стремлении объема DW к нулю точка М все время остается внутри объема. Обратную величину v = 1/r называют удельным объемом.

Переходя к бесконечно малым величинам, получим

dm=rdW.

Плотность движущейся среды зависит от ее материального состава, от температуры и давления, а также и от характера движения среды. В общем случае плотность представляется функцией пространственных координат и времени

r= r (х, у, z, t)

и образует скалярное поле, которое может быть как стационарным, так и нестационарным.

Поверхности или, в частном случае плоского распределения, линии уровня скалярного поля плотностей называют изостерическими поверхностями или линиями (изостерами).

Плотность как масса, отнесенная к единице объема, измеряется в кг/м³.

Выделим в пространстве некоторый малый (неподвижный, недеформируемый) объем W, через который движется жидкость (подход Эйлера). Объем ограничен поверхностью S, а его масса в данный момент времени t равна

.

Применим к этому объему закон сохранения массы сплошной среды, справедливый для классической нерелятивистской механики. Масса газа в выделенном в пространстве объеме может изменяться лишь за счет внутренних источников массы M' и за счет перетекания жидкости через поверхность, ограничивающую объем. Вытекающий из объема через поверхность S поток жидкости определяется формулой

,

где n – внешняя нормаль к поверхности.

Если за положительное направление нормали n принять направление движения из рассматриваемого объема (внешняя нормаль), то условие сохранения массы этого объема во времени можно записать в виде

, (1.6)

а при отсутствии внутренних источников массы

,

где – изменение массы объема; m'=M'×W – скорость изменения массы объема W за счет внутреннего источника; M' – удельная скорость изменения массы (в 1 м³).

Первое слагаемое в правой части преобразуем по теореме Остроградского-Гаусса:

.

Тогда при отсутствии внутренних источников

, (1.7)

а так как равенство должно быть справедливо для любого объема, то подынтегральное выражение должно удовлетворять уравнению

, (1.8)

которое называют уравнением неразрывности (непрерывности) в форме Эйлера.

Для несжимаемой жидкости плотность есть величина постоянная (r=const ), и уравнение (1.8) упрощается:

. (1.9)

Важно отметить, что уравнение неразрывности справедливо и для идеальной, и для реальной жидкостей.

Если внутри объема W происходит прирост массы за счет внутренних источников массы, то в правой части уравнения сохранения необходимо добавить источник

. (1.10)

В декартовой прямоугольной системе координат уравнение неразрывности примет вид

. (1.11)

Для несжимаемой жидкости

. (1.12)

Учитывая, что из векторного анализа следует

,

можно записать уравнение неразрывности в виде

. (1.13)

Рассмотрим другой подход к выводу уравнения неразрывности (в форме Лагранжа). Рассматривая малый замкнутый движущийся в пространстве изменяющийся объем (с непроницаемыми стенками), имеем для элементарной массы m газа в этом объеме w,

,

где d/dt – символ полной производной по времени. Производя дифференцирование произведения функций (rW) и используя представление о дивергенции вектора скорости как скорости объемного расширения, получим

.

Отсюда в силу произвольности величины W следует уравнение неразрывности в форме Лагранжа

.

Эти уравнения могут быть получены еще одним способом. Выделим в потоке движущейся массы фиксированный в пространстве элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz и подсчитаем массу жидкости, протекающей через него за время dt (рис.1.4).

Рис.1.4

В направлении оси х через грань АВСD втекает масса газа или жидкости M_x1, равная

Через противоположную грань EFGH вытекает масса M_x2 :

.

Излишек массы жидкости, вытекающей из объема в направлении оси х:

.

Полный избыток массы равен сумме этих выражений

.

Перенося все члены в левую часть равенства, получим (8).

В случае стационарного поля плотности

.