Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа
1. Формула Пуассона
Использование формулы Бернулли при больших значениях и вызывают большие трудности. Например, при 1000 подбрасываниях монеты необходимо определить вероятность того, что «герб» выпадет ровно 150 раз. В этом случае , , (выпадение «герба»), (выпадение «решки»). Формула Бернулли примет вид: .
Вычисления будут очень громоздкими, поэтому возникает необходимость в отыскании приближенных формул для вычисления , обеспечивающих необходимую точность. Такие формулы дают нам предельные теоремы; они содержат так называемые асимптотические формулы, которые при больших значениях испытаний дают сколь угодно малую относительную погрешность. Рассмотрим три предельные теоремы, содержащие асимптотические формулы для вычисления вероятности при .
Теорема Пуассона. Если число испытаний неограниченно увеличивается и вероятность наступления события в каждом испытании неограниченно уменьшается , но так, что их произведение является постоянной величиной , то вероятность удовлетворяет предельному равенству
или
, .
Формулу Пуассона обычно используют в случае, когда λ 10.
Пример 1. Завод отправляет в некоторый город 1500 автомобилей. Вероятность того, что в пути машина может получить повреждение, равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено не более 4-х автомобилей.
Решение. Событие – в пути будет повреждено не более 4-х автомобилей, т.е. 0, 1, 2, 3, 4.
, , .
По формуле Пуассона
2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
Теорема. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность может быть вычислена по приближенным формулам:
,
где , .
Функция называется функцией Гаусса.
Свойства функции .
1. Функция - четная, т.е. = .
2. Функция - монотонно убывает, при можно считать, что .
Пример 2. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,7. Найти вероятность того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена 160 раз.
Решение. , , , .
.
Учитывая, что , получим
3. Интегральная теорема Муавра – Лапласа
В тех случаях, когда требуется вычислить вероятность того, что в независимых испытаниях событие появится не менее раз и не более раз, т.е. используют интегральную теорему Муавра – Лапласа.
Теорема. Если вероятность наступления наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность может быть найдена по приближенной формуле
,
где ,специальная функция, называемая нормированной функцией Лапласа,
, .
Свойства функции .
1. Функция - нечетная, т.е. .
2. Функция монотонно возрастает, т.е. при можно считать, что .
Имеются таблицы приближенных значений функции , которыми удобно пользоваться для решения задач.
Пример 3. Проверкой установлено, что цех в среднем выпускает 96% продукции высшего сорта. На базе приемщик проверяет 200 изделий этого цеха. Если среди них окажется более 10 изделий не высшего сорта, то вся партия бракуется, т.е. возвращается в цех. Какова вероятность того, что партия будет принята?
Решение. , – вероятность бракованного изделия, – вероятность хорошего изделия.
Вероятность принятия всей партии, т.е. можно найти по формуле: , ,
,
,
,
,
.
Дата добавления: 2016-09-06; просмотров: 3674;